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Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 47 Satz XXXV. — Das Grund-Parallelepiped einer Schaar hat immer dasselbe Volumen, welches auch das System der conjugirten Punktreihen sein mag, das ihm zu Grunde liegt. Seien Ox, Oy, Oz (Fig. 18) die drei Parameter, welche dazu gedient haben, die Gitterpnnkte der Schaar zu construiren; sei ß das Volumen des über diesen drei Parametern construirten Parallelepipedes; seien OA, OB und OB die drei con jugirten Punktreihen, welche uns gegeben sind, und ß' das Volumen des entsprechenden Grund-Parallelepipedes. Sei jetzt OA' die Spur der Ebene AOB auf der Ebene der xy, diese Spur ist eine der Punktreihen des Netzes der Ebene AOB (Satz XXXI). Sei also OB’ eine der ihr con jugirten in derselben Ebene. Man könnte, gemäss dem Satz XXXIV, das System der Punktreihen [OA, OB, OB) durch das System [OA', OB’, OB) ersetzen, ohne das Volumen ß' des Grund-Parallelepipedes zu verändern. Sei ebenso OB 1 die Punktreihe, welche die Spur der Ebene OB'B auf der Ebene der xy bildet, und sei OB" eine zu OB' conjugirte Punktreihe auf der Ebene OB' B. Man könnte [43] statt des Systems [OA', OB', OB) das System (OA', OB', OB") setzen, ohne das Volumen ß' des Grund-Parallelepipedes zu verändern. Man kann schliesslich [OA', OB', OB") durch [Ox, Oy, OB") ersetzen, weil Ox und Oy zwei in der Ebene A' OB', welche mit der Ebene der xy zusammenfällt, liegende conjugirte Punktreihen sind. Das Volumen des Grund-Parallel epipedes wird gleich ß' bleiben. Wenn man dieses letzte Parallelepiped mit dem über Ox, Oy, Oz, construirten Parallelepiped vergleicht, so erhält man, gemäss dem Satz XXXIII ß' = ß . Zweiter Beweis. — Wir wollen Übereinkommen, die Zahl der in der Einheit des Volumens enthaltenen Gitter punkte Dichtigkeit der Schaar zu nennen, wobei die Dimensionen dieser Volumen-Einheit, alle drei, unendlich gross im Vergleich zu den Parametern der Punktreihen, welche man betrachtet, angenommen werden. Nachdem dies festgestellt, seien (Fig. 18) OA = a, OB = V, OB = d!,