44 A. Bravais. Der zweiten dieser Gleichungen ist genügt durch x — 7i, y — — y; also ist diese Spur eine Punktreihe. Wenn g und h nicht relative Primzahlen sind, so giebt es andere Gitter punkte zwischen dem Anfangspunkte und dem Punkte x = h, y — — g. Sei im Allgemeinen D der grösste gemeinsame Theiler von g und h\ so wird die Spur der Ebene (gh7,7) auf der Ebene der xy eine Punktreihe mit dem Symbol sein. Corollarsatz I. — Der Schnitt von zwei beliebigen Netzebenen wird eine den Netzen beider Ebenen gemeinsame Punktreihe sein, vorausgesetzt dass er einen Gitterpunkt ent hält; denn man kann immer eine der beiden Ebenen als Ebene der xy wählen (Aufgabe I) und den gemeinsamen Gitter punkt zum Anfangspunkt. Corollarsatz II. -—Wenn dieser Schnitt durch keinen Gitterpunkt der Schaar geht, so ist er wenigstens parallel mit einem gewissen Punktreihensystem. Um diese Punktreihen zu erhalten, führe man durch einen willkürlich gewählten Gitter punkt zwei, zu den gegebenen Ebenen parallele Netzebenen; ihr Schnitt wird eine der Punktreihen dieses Systems geben. [40] Aufgabe XVIII.—Die allgemeine Gleichung der Netzebenen zu finden, welche parallel der Ebene OTT' (Fig. 20) sind, und deren Symbol (ghk) ist. Durch den Gitterpunkt (m!', n", p") wollen wir eine Ebene parallel zu OTT' legen; ihre Gleichung wird sein gx + 7iy -|- 7cz = gm!' -f- hn" -f- 7cp" oder (37) gx + Jiy -j- Ttz — C, indem wir das letzte Glied durch C bezeichnen; C ist noth- wendiger Weise eine ganze Zahl. Diese Gleichung, welche so allgemein als möglich ist, umfasst das ganze System der zu O T T' parallelen Netzebenen. Aufgabe XIX. — Die Gleichung der an die Ebene OTT' (Fig. 20) angrenzenden Netzebenen zu finden. Man weiss aus der Theorie der Kettenbrüche, dass, wenn g, 7i, und 7c keinen anderen gemeinsamen Theiler haben als die Einheit, es immer möglich sein wird, der Doppel-Gleichung (38) gx + 7iy -\- 7cs — dr 1 durch ganzzahlige Werthe der x, y, z zu genügen. Die beiden durch diese Gleichung gegebenen Netzebenen