42 A. Bravais. OT angeboren, und wäre unter allen Gitterpnnkten der Reihe der dem Gitterpunkt 0 zunächst liegende. Wenn m, n und p keinen anderen gemeinschaftlichen Divisor besitzen als die Einheit, so ist OT der Parameter der Punktreihe. Ich werde künftig annehmen, dass die Gitterpunkte, welche wir Gelegenheit haben werden mit dem Anfangspunkt durch eine Gerade zu verbinden, dieser Bedingung genügen, dass ihre drei Zahlen-Coordinaten keine anderen gemeinschaft lichen Theiler haben als die Einheit. Bezeichnung. — Die Punktreihe, welche vom Anfangs punkt nach dem Gitterpunkt (m, n, p) geht, wobei m, n und p keinen gemeinschaftlichen Theiler besitzen, soll künf tig durch das Symbol mnp bezeichnet werden. Satz XXX. •— Seien T und T' zwei Gitterpunkte einer Schaar (Fig. 2 0); wenn man durch einen dritten Gitterpunkt 0 die Strecke OA gleich und parallel mit TT' zieht, so wird das äusserste Ende dieser Strecke ein vierter Gitterpunkt der Schaar sein. Dieser Satz lässt sich beweisen wie der Satz I. [38] Aufgabe XV. — Die allgemeine Gleichung der mit der Punktreihe OT (Fig. 20), deren Symbol mnp ist, parallelen Punktreihen zu finden. Seien m , n und p die Coordinaten eines zweiten Gitter punktes, der willkürlich gewählt wurde: die Punktreihe, welche durch diesen Gitterpunkt parallel mit OT geführt ist, wird als Gleichung in Zahlen-Coordinaten haben (32) x — m' y — n z — p' mnp Aufgabe XVI. — D en Parameter der Punkt reihe OT und ihrer Parallelen zu finden (Fig. 20). Seien «, ß und 8 die Winkel, welche die drei Ilalbaxen der positiven Coordinaten miteinander in der «/«-Ebene, in der ««-Ebene und in der ««/-Ebene bilden. Kommen wir überein, durch Pmnp den Parameter der vom Anfangspunkte nach dem Gitterpunkte (m, n, p) gehenden Punktreihe OT zu bezeichnen. Man wird nach einer be kannten Formel als Werth des Quadrats dieses Parameters haben P t mnp = mPa? -)- n 1 J 2 -f- p^tp -)- ‘Imnab cos <5 + mpad cos ß -f- 2npbd cos a.