lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 39 M'm = M M OM ‘ Wenn folglich M' M<f OM ist, wird a fortiori M' m <f OM, und da m ein Gitterpunkt des Netzes ist, wäre OM nicht mehr der kleinste Parameter. Nun ist aber bei jedem regel mässigen eingeschriebenen Polygon mit höherer Seitenzahl als sechs die Seite kleiner [35] als der Radius. Also muss das Polygon MM' M'" ... ein Quadrat oder ein Sechseck sein, und die Zahl q wird gleich 2 oder 3 sein. Wenn q — 2 ist, so besitzt das Netz eine quadratische Masche; wenn q — 3 ist, besitzt das Netz eine dreieckige, gleichseitige Masche. Corollarsatz. — Der Winkel, welcher von zwei direct ähnlichen Punktreihen gebildet wird, kann nur gleich 60 oder 90 Grad sein. Satz XXV. — Gleichartige und direct ähnliche Punktreihen können nur in Netzen mit quadratischer oder dreieckig gleichseitiger Masche Vorkommen. Dieser Satz ist eine Folgerung aus dem vorhergehenden Corollarsatz. Die beiden folgenden, welche keines Beweises mehr bedürfen, sind die Umkehrungen dieser Sätze. Satz XXVI. — In jedem Netz mit quadratischer Masche, welches in seiner Ebene um einen seiner Gitterpunkte gedreht wird, wird der Ort der Gitter punkte nach jeder viertel Umdrehung wieder derselbe, und jedem Punktreihen-System entspricht ein an deres System gleichartiger direct ähnlicher Punkt reihen, welches senkrecht zu ihm steht. Satz XXVII. — In jedem Netz mit dreieckig gleich seitiger Masche, welches sich um einen seiner Gitterpunkte dreht, wird der Ort der Gitterpunkte derselbe nach jedem Sechstel der Umdrehung, und jedem Punktreihen-System entsprechen zwei andere Systeme von gleichartigen und direct ähn lichen Punkt reihen, welche eine Neigung von 60 Grad zu dem gegebenen Systeme haben. Definitionen. — Wenn ein Netz bei einer Drehung um eine Normale zu seiner Ebene die Stellung seiner Gitter punkte bei jedem Viertel der Umdrehung wiedererhält, so soll diese Gerade eine quaternäre Symmetrie-Ax e des Netzes genannt werden. Wenn der Ort der Gitterpunkte nach jedem Sechstel der Umdrehung derselbe wird, so ist