Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 37 [33] Wenn wir jetzt das bewegliche Netz um einen Winkel gleich AO A’ um eine durch 0 gehende und zur Ebene des Netzes normale Rotations-Axe drehen, so werden die beiden Elementar-Dreiecke zusammenfallen, und die Deck ung der beiden Netze wird eine vollständige sein. In dem Falle, wo die beiden Elementar-Dreiecke invers gelegen wären, wie es OaA und Oa!" A'" sind, könnte man die Deckung nicht durch Drehung um die Normale der Ebene erreichen; aber dann würde man dazu gelangen, indem man das bewegliche Netz um 180° um die Gerade 0 0', die den Winkel AOA'" halbirt, sich drehen lässt. Folglich sind auch in diesem Falle die beiden Punktreihen von der selben Art. Anmerkung. — Die Halbirende des durch zwei Punkt reihen mit gleichen aber invers gelegenen Elementar-Drei- ecken gebildeten Winkels ist eine Symmetrie-Axe des Netzes. Definition. — Die Punktreihen OA und 0 Al (Fig. 12), deren Elementar-Dreiecke durch Drehung um die durch 0 gehende Normale zur Deckung gebracht werden können, sollen direct ähnlich heissen. Die Punktreihen OA und OA'", deren Elementar-Dreiecke invers sind, sollen invers ähnlich genannt werden. Wenn die beiden Elementar-Dreiecke, welche über den Parametern als Basis construirt sind, gleichschenklig sind, so sind die Punktreihen gleichzeitig direct ähnlich und in vers ähnlich. Satz XXII. — Zwei, in Bezug auf eine der Sym- metrie-Axen des Netzes homologe Punktreihen sind gleichartig und invers ähnlich. Die inverse Ähnlichkeit ist hier das Resultat der Sym metrie. Satz XXIII. — Wenn zwei oder mehrere gleich artige und direct ähnliche Punktreihen vorhanden sind, die von demselben Punkte ausgehen, so theilt das vollständige System dieser Prrnktreihen den diesen Gitterpunkt umgebenden Raum in gleiche Th eile. Unter den Punktreihen, welche OA (Fig. 12) direct ähn lich sind, können wir diejenige herausgreifen, die mit OA den kleinsten Winkel einschliesst. Sei OA' diese Punktreihe. Lassen wir das bewegliche Netz sich um die durch 0 gehende Normale drehen, bis die bewegliche Punktreihe OA mit der