34 A. Bravais. dargestellten Punktreihen wegnimmt, wobei j irgend eine ganze Zahl ist. Diese Verminderung lässt alle Gitterpunkte mit ungeraden Zahlen-Ordinaten verschwinden. Die Punktreibe, welche zwei Gitterpunkte mit den gerad zahligen Ordinaten 2j und ij' verbindet, kommt augenschein lich sowohl in dem ursprünglichen Netz vor als in dem ge hälfteten. Wenn man einen Gitterpunkt mit der geradzahligen Ordinate 2/ mit einem Gitterpunkt von der Ordinate ij' + 1 verbindet, so wird die so erhaltene Punktreihe, wenn sie jen seits dieses letzten Gitterpunktes um eine Strecke gleich dem Abstand der beiden gegebenen Gitterpunkte verlängert wird, in einem dritten Gitterpunkte enden, der eine Ordinate gleich 4/ + 2 — 2/, also eine geradzahlige Ordinate besitzt. Diese Punktreihe wird also dem gehälfteten Netze angehören, aber ihr Parameter wird darin zwei Mal grösser sein als in dem ursprünglichen Netze. Wenn man endlich die beiden Gitterpunkte mit ungeraden Ordinaten 2/ -f- 1 und 2/' -j-1 verbindet, so giebt es zwar die auf diese Weise erhaltene Punktreihe nicht in dem gehälfteten Netze; aber wenn man eine ihr Parallele durch den Gitter punkt zieht, der als Anfangspunkt dient, so wird das äussere Ende des Parameters auf einen Punkt fallen, der als Ordinate dt (2/' — 2/) hat, und der den Punktreihen des gehälfteten Netzes angehört. Die Halbirung des Netzes hat also kein einziges System der Punktreihen verschwinden lassen. Man kann ebenso beweisen, dass, wenn man in dem Netze mit rechteckiger Masche a! Ab' A (Fig. 10), alle Punkt reihen von ungerader Ordnung wie abc, [31] a b'c'd', ... in dem System der zu den Diagonalen «' //, AB parallelen Punkt reihen unterdrückte, das Netz mit rhombischer Masche ABA'B', welches aus dieser Weglassung entsteht, die gleichen Systeme von Punktreihen zeigen wird wie das ursprüngliche Netz, abgesehen von den nothwendigen Aenderungen in den Para metern dieser Punktreihen oder in den Zwischenräumen, welche sie trennen. Satz XVIII. — Wenn das Haupt-Dreieck eines Netzes zu gleicher Zeit rechtwinklig und gleich schenklig ist, so wird das Netz vier Systeme von Axen haben: zwei Systeme, die unter sich recht winklig und von der selben Art sind, werden die Seiten des Grund-Quadrats als Parameter haben;