Ueber die Systeme von regelmässig verthelt en Punkten. 33 Satz XY. — Umgekehrt besitzt das Netz, wenn das Haupt-Dreieck rechtwinklig ist, zwei Symmetrie- Axen, die parallel mit den kleineren Seiten des Dreiecks sind, und wenn das Haupt-Dreieck gleich schenklig ist, besitzt das Netz zwei Symmetrie-Axen, die eine parallel und die andere senkrecht zu der Basis. Das Netz mit rechtwinkliger Masche hat die Seiten des Rechtecks zu Axen; es giebt in diesem Falle Zwischenaxen der Symmetrie, die mit den vorigen parallel sind und durch die Mittelpunkte der Grund-Rechtecke gehen. Das Netz mit rhombischer Masche hat die Diagonalen des Rhombus zu Axen. Definition. ■— Ein Netz centriren, oder die Maschen eines Netzes centriren heisst, neue Gitterpunkte in dem Mittelpunkte von jedem der Grund-Parallelogramme hinzufügen. Satz XVI. — Wenn man alle Rechtecke eines Netzes mit rechtwinkligen Maschen centrirt, so bildet man ein Netz mit rhombischen Maschen; wenn man alle Rhomben eines Netzes mit rhombischen Maschen centrirt, so wird das Netz rechtwinklig. Dieser Satz ist evident, es ist wichtig zu bemerken, dass diese Veränderungen die Symmetrie-Axen des Systems nicht ändern. Satz XVII. — In dem Netz mit centrirten Rhomben und in dem Netz mit nicht centrirten Rhomben kommen dieselben Systeme von Punktreihen vor. [30] Dasselbe ist der Fall bei den Netzen mit recht winkligen centrirten oder nicht centrirten Maschen. Sei abc . . ., ABC . . . (Fig. 9) ein rhombisches Netz mit der Masche AaBa', und betrachten wir das System der Punktreihen, welche parallel einer der Diagonalen des Rhombus, z. B. AB, liegen. Wenn man diese Diagonale zur Axe der x nimmt, so wird irgend eine der zu dieser Axe parallelen Punktreihen durch die Zahlengleichung V = n ckarakterisirt sein, wobei n eine beliebige ganze Zahl ist. Das rhombische Netz verwandelt sich in das rechtwinklige Netz mit der Masche AB AB', wenn man alle durch die Gleichung y= .2/4-1