Ueber die Systeme von regelmässig verteilten Punkten. 31 durch irgend eine zu AB parallele Punktreihe, die, wio er sichtlich, auch eine Symmetrie-Axe sein wird. Man sagt dann, dass das Netz eine zu AB parallele Symmetrie-Axe besitzt. Man muss darunter verstehen, dass alle zu AB parallelen Punktreihen solche Axen sind. Nachdem ein System von parallelen Symmetrie-Axen gefunden ist, welche durch Gitterpnnkte gehen, kann man sich fragen, ob es nicht Axen gäbe, die mit den vorigen parallel wären und keinen Gitterpunkt enthielten. Ich be zeichne diese letzteren mit dem Namen Zwischenaxen; aber da diese Axen, wenn sie vorhanden sind, keinen neuen Be griff in das Studium der Netze bringen, werde ich sie nicht beachten, und werde künftig annehmen, dass jede Symmetrie- Axe durch einen Gitterpunkt gehe. Satz XI. — Jede Symmetrie-Axe, welche durch einen Gitterpunkt geht, ist eine der Punktreihen des Netzes. Sei GOH (Fig. 7) die durch den Gitterpunkt 0 gehende Axe, und sei A ein anderer Gitterpunkt ausserhalb der Axe. Der Punkt A hat seinen homologen in A', zufolge der [28] Symmetrie, welche die Axe GOH besitzt; aber andererseits hat, vermöge der allgemeinen Symmetrie jedes Netzes, A' einen correspondirenden Gitterpunkt A" auf der anderen Seite von 0 in Bezug auf A'. Also ist die Gerade AA" eine Punktreihe; aber sie ist parallel mit GOH; folglich ist GOH auch eine Punktreihe des Netzes. Satz XII. — Jeder Symmetrie-Axe entspricht eine zweite Symmetrie-Axe, die senkrecht zu ihr steht und sie in einem Gitterpunkt schneidet. Wenn man die Gerade IOK (Fig. 7) zieht, welche durch den Gitterpunkt O geht und normal zu GOH ist, so wird sie Mittelsenkrechte von AA" sein; also entspricht jedem Gitterpunkt A ein anderer Gitterpunkt A", der sein homologer in Bezug auf IOK ist; folglich ist IOK auch eine Symmetrie- Axe des Netzes. Satz XIII. — Jeder Symmetrie-Axe entspricht eine unendliche Anzahl anderer Symmetrie-Axen, die ihr parallel sind und durch alle Gitterpunkte des Netzes gehen. Dies ist ein Resultat der allgemeinen Gesetze der regel mässigen Vertheilung der Gitterpunkte in irgend einem Netze.