22 A. Bravais. Satz II. — Wenn eine Punktreihe OP (Fig. 3) in dem durch [19] zwei conjugirte Punktreihen OA und OB gebildeten Winkel AOB enthalten ist, so werden alle zu OP conjugirten Punktreihen in demselben Winkelraum AOB enthalten sein. Wählen wir OA zur Ilalbaxe der positiven x, OB zur Halbaxe der positiven y, und seien m und n die Zahlen- Coordinaten des Gitterpunktes P, sie seien positiv und grösser als Null. Setzen wir voraus, dass Op eine zu OP conjugirte Punktreihe sei, und seien ml = m 0 , n — — ra 0 die Zahlen-Coordinaten des Gitterpunktes p ; m 0 und n e sind ganze und positive Zahlen. Die allgemeine Bedingung, welche durch die Gleichung (15) vorgeschrieben ist, wird nm 0 + m», = ± 1- Nun ist es aber unmöglich, ihr mit solchen Werthen der Zahlen m, n, n B , welche positiv und grösser als Null sind, zu genügen. Also kann die Punktreihe Op nicht zu OP conjugirt sein. Aus demselben Grunde kann eine Punktreihe wie Oq[die selbe Figur) nicht zu OP conjugirt sein. Folglich u. s. w. Satz III. — Das Grund-Parallelogramm des Netzes hat einen constanten Flächeninhalt, auf welche Weise es auch construirt sei. Ich werde von jetzt an die Fläche des Grund-Parallelo gramms eines Netzes mit cu bezeichnen; 0AmB (Fig. 2) sei ein solches Parallelogramm. Da die Punktreihen OP und Op conjugirt sind, wollen wir über OP und Op das Parallelogramm OPpw constru- iren, welches die aus diesem Punktreihen-Systeme abgeleitete Masche unseres Netzes sein wird. Ich behaupte, dass der Flächeninhalt OP&p = Flächeninhalt 0AmB = w sei. In der That hat das Parallelogramm OPiSp dieselbe Basis wie OAQP, aber die Höhe ist verschieden, und man hat [Gleichung (11)] OPmp : OAQP — Op' : OA =±= 1 :n, wobei n die Zahlen-Ordinate des Gitterpunktes P ist.
