126 A. Bravais. von 90 Grad des letzteren um einen der Gitter punkte, welchen man als Anfangspunkt wählt. Anmerkung. — Wenn nach dieser Drehung die Axe der positiven y zu der Axe der positiven \x\ des polaren Netzes wird, so wird die Axe der positiven x die Axe der negativen [«/] werden. Das Umgekehrte wird stattfinden, wenn die Drehung im entgegengesetzten Sinne gemacht wird. Satz CIX. — Jede polare Schaar besitzt dieselben Symmetrieaxen wie die ursprüngliche Schaar. Sei O (Fig. 41), der den beiden Schaaren gemeinsame Gitterpunkt, der Anfangspunkt der Coordinaten; seien 0 0' eine Symmetrieaxe der ursprünglichen Schaar, und OP eine der Punktreihen der polaren Schaar, wobei 0 und P zwei benachbarte Gitterpunkte auf dieser Punktreihe sein mögen. Legen wir durch O normal zu OP die Ebene RR', welche eine Netzebene der ursprünglichen Schaar sein muss (Satz CVII, Corollarsatz). Sei jetzt q die Ordnungszahl der Symmetrie der Axe 360° 00'; lassen wir RR' sich um 00' drehen um , um 2-360° 3-360° . „ , . 2 , , u. s. w.: so wird man ebenso viele Netz- 12 ebenen der gleichen Art erhalten (Satz LXXXVIII), deren Normalen ebenfalls Punktreihen der polaren Schaar sein werden (Satz CIII). Diese Normalen erhält man, indem man zi 73 zi zv j i,* a , w - i , 360° 2-360° OP um 0 0 dreht durch Winkel von , , u. s. w.: q q hei dieser Bewegung wird der Punkt P nach einander auf P', auf P", u. s. w. kommen; woraus man sieht, dass er q— 1 homologe Gitterpunkte in Bezug auf die Axe 0 0' haben wird, und da P irgend ein Gitterpunkt der polaren Schaar ist, so wird die Axe 00' eine Symmetrieaxe der Ordnung q in dieser letzteren Schaar sein. Corollarsatz. — Wenn in der ursprünglichen Schaar Symmetrieebenen Vorkommen, [117] so werden diese Ebenen auch Symmetrieebenen der polaren Schaar sein; denn jeder Sym metrieebene entspricht eine Symmetrieaxe von gerader Ord nung, und diese Axe muss sich in der polaren Schaar wieder finden. Nun aber entspricht jeder Symmetrieaxe von gerader Ordnung umgekehrt auch eine Symmetriebene, welche zu ihr normal ist; deshalb wird sich auch diese Symmetrieebene in der polaren Schaar wiederfinden.