Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 117 werden g, h und k in der polaren Schaar sein, und die Be zeichnung der Punktreihe Op wird [g h /e] sein. Wenn man die Werthe von Oa, Ob und Od mit den Ausdrücken der Flächeninhalte OBD, [108] 0 AD und OAB (Gleichungen 68) vergleicht, so sieht man, dass sie ihnen pro portional sind in dem Verhältniss = \ghlt == 1 : \ghhE. Also wird nach dem Corollarsatz zu dem Satze CI die Diagonale Op normal zu der Basis AB D sein, das heisst zu dem System der Netzebenen, dessen Symbol (ghk) ist. Zweiter Beweis. — Wenn man den Satz CII durch die analytische Geometrie des Raumes beweisen will, so nennt man r die Neigung der Axe Oz gegen die Ebene der xy (Fig. 39); £ 0 , 17 £ 0 die linearen Coordinaten des Punktes a\ r] l , diejenigen des Punktes b\ | s , diejenigen des Punktes d, und man setzt (69) 1 — cos 2 a — cos 2 ß — cos 2 ö + 2 cos a cos ß cos ö = / 2 . Man hat alsdann Od Od sin d Jcab sin 2 6 _ ~ 2 ~ sinT“ 1 — Je ’ woraus man leicht die Werthe von §2! V* durch die bekannten Gleichungen der Normale zu der Ebene der xy in dem System der schiefwinkligen Axen folgern kann. Man würde ebenso r\ K , C { , g 0 , rj 0 , C 0 bestimmen. Die Coordinaten 17, C des Punktes p werden dann durch die Formeln gegeben = ß + § t + l,)JE — gbd sin 2 « — had sin « sin ß cos «TT — hab sin a sin ö cos v\ V JE — [ri, + r ti + t] t )JE = — <7 6 c?sin a sin ß cos et + had sin 2 /? — /cab sin/? sind cos,«; UE= (f, + C, + -QJE = — gbd sin ß sin <5 cos p — had sin a sin <5 cos v + hab sin 2 8. Wenn man also um abzukürzen setzt