Uebcr die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. J 09 Winkel gleich omal dem Winkel drehen lässt, wobei 2 q 2 q die Ordnungszahl der Symmetrie der Axe ist, so wird eine Wiederherstellung der Orte der Gitterpunkte stattlinden, und es ist leicht zu sehen, dass die beiden gegebenen Netzebenen Gitterpunkt auf Gitterpunkt zur Deckung kommen werden. Satz LXXXV. — Zwei parallele Netzebenen sind von derselben Art. Es genügt, das bewegliche Netz parallel mit sich selbst fortzubewegen, um die Deckung der Gitterpunkte zu erhalten. Satz LXXXVI. — Wenn in einer Schaar zwei gleichartige, aber nicht parallele, Netzebenen Vor kommen, so besitzt diese Schaar wenigstens eine Symmetrieaxe. Man kann immer voraussetzen, die beiden Netzebenen, die ich F und M nennen werde, hätten einen gemeinsamen Gitterpunkt S, der nicht an den Bewegungen der beweg lichen Schaar theilnimmt. Nehmen wir an, dass geeignete Drehungen dieser Schaar das bewegliche Netz M schliesslich auf das feststehende Netz F geführt haben. Die Coincidenz kann immer (nach der bekannten Theorie der Zusammensetzung der Drehungen in der Mechanik) als durch eine einzige Drehung der beweglichen Schaar um eine durch den Gitterpunkt S gehende Rotationsaxe hervorgebracht angesehen werden. Es ist wichtig zu bemerken, dass diese Gerade, ebenso wie der einzige Rotationswinkel, welcher M zur Deckung [101] mit F bringt, sich vollkommen bestimmen lässt, unter der Be dingung allerdings, dass der Rotationswinkcl 180 Grad nicht übersteigt. Diese Gerade, welche so die Eigenschaft besitzt, nach einer geeigneten Drehung die Orte der Gitterpunkte wiederherzustellen, wird eine Symmetrieaxe der Schaar sein. Corollarsatz. — Es kann in den asymmetrischen Schaa- ren keine Netzebenen derselben Art, die nicht parallel sind, geben. Definition. — Zwei nicht parallele Netzebenen der selben Art heissen homologe in Bezug auf eine Symmetrie axe der Schaar, wenn die einzige Drehung, welche ihre Netze zur Deckung bringt, so dass die bewegliche Schaar sich auf die feststehende Schaar legt, um diese Axe stattfindet. Man folgert daraus nachstehenden Lehrsatz: