44 in der Ebene ABC liegen; Ai Bi Ci D x und A 2 B 2 C 2 D 2 sind also die Projektionen eines ebenen Vierecks. — Auflösung 3: In Fig. 52 sind wiederum die Projektionen der Punkte A, B und C beliebig angenommen; alsdann ist AD || BC und CI)||BA gezogen. AD und CD gehören der Ebene ABC an, da sie je einen Punkt mit ihr gemein haben und mit je einer Geraden derselben parallel sind. Da AB und BC sich im Punkte B treffen, müssen sich auch AD und CD schneiden; D x und D» stellen also die Projektionen eines Punktes D vor, und AB CD ist ein ebenes Viereck (Parallelogramm). Folgerung: Sind die beiden Projektionen eines Vierecks Parallelogramme, so ist das Viereck im Baum gleichfalls ein Parallelogramm, also eben. — Um die wahre Gestalt und Gröfse eines durch seine Pro jektionen gegebenen ebenen Vielecks zu ermitteln, denkt man sich dasselbe mit seiner Ebene entweder um s' nach P, oder um s" nach P 2 umlegt. Umgekehrt verschafft man sich die Projektionen eines innerhalb ehier Ebene, von der s' und s" bekannt sind, ge legenen Vielecks, indem man die Ebene um eine ihrer Spuren in die gleichnamige Projektionsebene herabschlägt, das gegebene Vieleck einzeichnet und hierauf die Ebene wieder in ihre ursprüngliche Lage zurückdreht. — Beide Verfahren sollen bei Lösung der folgenden Aufgaben erläutert werden. Aufgabe 5: Es soll die wahre Gestalt und Gröfse des (Fig. 53b) durch seine Projektionen gegebenen Dreiecks ABC ge funden werden. Analysis: Sei (Fig. 53a) A 1 B 1 C 1 der Grundrifs des Dreiecks ABC, dessen wahre Gröfse ermittelt werden soll. — Man erweitert die Dreiecksebene, bis man ihre Spur s / erhält und zieht, um zu nächst zu erörtern, wohin A nach erfolgter Umlegung der Ebene ABC zu liegen kommt, durch A die erste Falllinie AO und durch A, und 0 deren Grundrifs. Wie bereits früher erläutert worden ist, mufs die mit der Ebene ABC nach P, umgelegte Falllinie AO die Verlängerung von A t 0 bilden, A 0 also auf dem von A t nach s' gezogenen Lote liegen und von s / um AO entfernt sein. AO ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck AA x O, von dem die beiden Katheten bekannt sind. A x O ist nämlich gleich der Ent fernung des Punktes A, von sC AA X aber zeigt sich, da es als Lot zu P, mit P 2 parallel sein mufs, im Aufrifs (als zweite Ordi nate des Punktes A) in wahrer Gröfse. — Auf analoge Weise