43 II. Algebra. Von den Gleichungen. § 36. vergl. § 3. Eine Gleichung, welche bedingungslos richtig ist, deren beide Seiten also unter allen Umständen gleichwerthig sind, heisst eine analytische Gleichung. Beispiele hierfür bieten alle die Formeln der Arithmetik, welche allgemeingültige Rechengesetze darstellen. Hat eine solche Gleichung insbesondere die Form a - a, spricht sie also den Grundsatz aus „jede Grösse ist sich selbst gleich“, so heisst sie eine identische Gleichung. Eine Gleichung’, welche nur bedingungsweise richtig ist, deren beide Seiten also nur dann gleichwerthig sind, wenn für die eine oder andere vorkommende Grösse oder für mehrere Grössen zugleich ein bestimmter Werth gesetzt wird, heisst eine algebraische Gleichung. Die Grösse, an welcher die Bedingung für die Dichtigkeit der Gleichung haftet, heisst die Bedingungsgrösse oder, insofern die Aufgabe vorliegt, den Werth dieser Grösse zu bestimmen, die Unbekannte. Wenn der Werth der Unbekannten ermittelt ist, so sagt; man: es ist die Wurzel der Gleichung gefunden und die Gleichung selbst ist aufgelöst worden. Aus einer Gleichung können unter Anwendung des Grundsatzes: „Gleiches (die Seiten d. Gl.) auf gleiche Weise (arithmetisch) behandelt, gibt Gleiches“ beliebig viele neue Gleichungen abgeleitet werden; man nennt dies die Gleichung umformen. Beim Umformen einer Gleichung bezweckt man immer die Ueberführung derselben in die möglich einfachste Form und damit hat man dann die Gleichung geordnet; das Verfahren hierfür ergibt sich aus der Anwendung folgender Regeln: 1. Wenn Glieder der Gleichung Brüche sind, so multiplicire man die ganze Gleichung mit dem Generalnenner; dieser selber bleibt weg. 2. Kommen Klammern vor, so werden diese, insbesondere wenn sie die Unbekannte enthalten, aufgelöst: entweder nach § 8 oder nach §13, Formel 24 und 26. 3. Es wird transponirt d. h. durch beiderseitige Addition bez. Subtraktion werden die negativen bez. positiven Glieder von einer Seite auf die andere Seite der Gleichung gebracht, so dass links (rechts) nur Glieder mit der Unbekannten, rechts (links) nur bekannte Glieder zu stehen kommen. 4. Die Glieder, welche die Unbekannte in gleicher Potenzform haben, werden nach § 13, Formel 25 zusammengezogen; zugleich werden