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18 Die äusseren Kennzeichen für die Theilbarkeit einer Zahl sind folgende: theilbar durch 2, wenn der Einer eine gerade Zahl oder Kuli ist, „ „ 3, „ die Quersumme durch 3 theilbar ist, » „ 4, „ die vom Zehner und Einer gebildete Zahl durch 4 theilbar ist, „ „ 5, „ der Einer eine Fünf oder Null ist, ,, „ 8. „ die vom Hunderter, Zehner und Einer gebildete Zahl durch 8 theilbar ist, .. „ 9, „ die Quersumme durch 9 theilbar ist, „ „ 11. „ die Quersumme der ungeraden Stellen gleich ist der Quersumme der geraden Stellen oder wenn die eine Quersumme die andere um 11 oder ein Viel faches von 11 übertrifft. Hat eine Zahl gleichzeitig zwei oder mehrere dieser Kennzeichen, so ist sie durch das Produkt der betreffenden Maasse theilbar; so lässt sich z. B. eine Zahl durch 12 theilen, wenn sie durch 3 und 4 getheilt werden kann. Um alle Primzahlen zu finden, durch welche sich eine gegebene Zahl theilen lässt — oder wie man auch sagt: um eine gegebene Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen — dividire man sie zuerst durch ihren kleinsten Theiler, den erhaltenen Quotienten wieder durch seinen kleinsten Theiler und wiederholte dieses Verfahren solange, bis der Quotient 1 entsteht. Nunmehr lassen sich auch alle zusammengesetzten Zahlen angeben, durch welche die gegebene Zahl theilbar sein muss, indem man von dem Satze Gebrauch macht: Ein Produkt ist sowohl durch jeden seiner Faktoren, als auch durch die aus den Faktoren zu bildenden Produkte theilbar. § 19. Hat man zu untersuchen, ob zwei oder mehrere Zahlen einen gemeinschaftlichen Theiler haben, so zerlege man die Zahlen in ihre Primfaktoren; alle diejenigen Primfaktoren, welche gemeinschaftlich sind, sowie die aus ihnen sich bildenden Produkte sind gemeinschaftliche Theiler der Zahlen und das Produkt, welches sich aus sämmtlichen gemeinschaftlichen Theilern bildet, ist der grösste gemeinschaft liche Theiler. Um für zwei Zahlen den grössten gemeinschaftlichen Theiler aufzufinden, kann man auch so verfahren, dass man die grössere Zahl durch die kleinere dividirt und den Best bestimmt, hierauf die kleinere Zahl durch die Bestzahl dividirt und den neuen Best bestimmt, hierauf den ersten Best durch den neuen Best dividirt u. s. f. bis der Best 0 entsteht. Der letzte Divisor ist der grösste gemeinschaftliche Theiler der beiden Zahlen. Ist dieser letzte Divisor die Eins, so sind die beiden Zahlen relativ prim.