Ueber ö. Herleitung aller krystallographisclier Systeme etc. 79 2 2n cos 2n+1 x = cos (2w+ \)x +-(2ra+ l) t cos (2 n—l)a;-H -f- (2 n-\- 1) 2 cos (2n —3) x •+• + i (2) + (2 n + l) m cos x ) Es wird hier das Symbol m^ angewendet, um den Bi- nomialcoefficienten m(m—1) . . . [m—Ä-f-lj 1 . 2 . . . . k zu bezeichnen. Setzt man für n in den Gleichungen (1) und (2) nach einander die Zahlen: 1, 2, 3 u. s. f., so kann man suc- cessive cos 2x, cos 3x, cos 4x u. s. w. in [67] Functionen von cos x bestimmen. Offenbar werden diese Functionen die folgende Form besitzen: cos 2mx 2 m im , .(1) 2m—2 COS X -)- J 2m cos x-\- (2) 2m —4 + A„ cos x 4- . . 1 2m , >(*»-!) 2 Am) + Ä 2m C0S * + A im (3) cos {2m + \)x = B 2m + i (1) 2m- + B. ,, cos 1 2m + 1 2m+i cos X + .(*) 2m+ 1 ,(»0 2m + i 2m —:3 cos x + cos x . (4) Die Grössen A und B hängen nicht von x ab, und ihre Werthe können durch die Methode der unbestimmten Coeffi- cienten erhalten werden. In der That geben, auf Grund von (3) und (4), die Gleichungen (1) und (2) (wenn man cos * = y setzt): „2» —1 2 n 2 y .k 2n . ,(1) 2»—2 (2) 2n-4 A - y+ A \ny + y in • + (ti —1) 2 (n) • ' + An y + A in , x T . 2ft- + (2n\ [.A 2n _ 2 y - 2 _l_ A {1) v n “i A in—2 y + ,(»~2) 2 , >(»-1)1 f • + A -2n—2 y + A l-i\\ (5)