76 Axel Gadolin. alte Coordinatenebene eine mögliche Krystallfläche sein muss. In dem eben gegebenen Beweise haben wir die Stellung der Flächen in Bezug auf die neuen Coordinatenaxen durch die Parameter bestimmt, welche sie erhalten, wenn ihnen parallel Ebenen durch den Punkt 0 auf der Axe PO gelegt werden. Diese Methode ist ungenügend, um die Stellung von Flächen zu bestimmen, welche der Axe PO parallel sind. Die Mög lichkeit einer Fläche dieser Art in dem alten System von Coordinatenaxen ergiebt sich, wenn man parallel derselben eine Ebene SMN'T durch einen Punkt Fig. 25. M (Fig. 25) legt, in welchem irgend eine andere Fläche die Axe OB schnei- f det; damit alsdann die fragliche Fläche möglich sei, muss ihr Parameter ON' auf der dritten Axe OC in rationalem Verhältnisse mit den anderen Para metern auf dieser Axe stehen, z. B. mit ON. Man hat nun in derselben Weise zu prüfen, ob dem Gesetze der Rationalität der Parameterverhältnisse für die neuen Coordinatenaxen durch eine solche Fläche ge nügt wird. Der Parameter einer der Flächen auf der neuen Axe PM ist PM, so dass man bei Annahme der neuen Axen die Fläche SMN'T in ihrer alten Stellung lassen kann; ihr Parameter auf der Axe PN [65] ergiebt sich, wenn man die zu OP parallele Gerade N'T verlängert, bis sie PN in dem Punkte U schneidet. Da die Dreiecke NOP und NN'U ähnlich sind, so ist ersichtlich, dass die Ratio nalität des Verhältnisses PN: PU bestimmt wird durch die jenige des Verhältnisses ON: ON'. Wir haben also nun gesehen,' dass, wenn dem Gesetze der Rationalität der Parameterverhältnisse für ein bestimmtes Sy stem von Coordinatenaxen genügt ist, dasselbe auch noch Gültigkeit besitzt, wenn wir eine der Coordinatenaxen durch irgend eine der möglichen Krystallflächen der fraglichen Kry- stallreihe ersetzen. In derselben Weise kann man auch die zweite und die dritte der alten Coordinatenebenen durch neue Flächen ersetzen, und daraus ergiebt sich, dass jeder Durch schnitt zweier beliebiger möglicher Krystallflächen als Coordi- natenaxe genommen werden kann, und dass. in Bezug auf diese Axe das Gesetz der Rationalität der Parameterverhält nisse gelten muss.