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Ueber d. Herleitung aller krystallographiseher Systeme etc. 23 Parallelen, der unteren Fläche a, bedingt wird, welche ihrer seits durch eine vierte Drehung mit der unteren Fläche a 1 zu sammenfällt, deren Parallele a IV oben somit eine reelle Fläche sein wird; endlich wird die letztere durch eine fünfte Drehung mit a v oben coincidiren, und dadurch die Existenz der par allelen unteren Fläche a 11 bestimmt sein. Man sieht also, dass einer beliebigen Fläche a fünf andere correspondiren, welche mit ihr eine Doppelpyramide bilden, deren Basis ein gleichseitiges Dreieck ist. Dieses Symmetriegesetz ist identisch mit dem durch das gleichzeitige Vorhandensein einer Deckaxe von 120° und einer dazu senkrechten Symmetrieebene be stimmten Gesetze. Jede Richtung steht im Verhältniss der Deckgleichheit zu zwei anderen, mit denen sie durch eine Drittelumdrehung um die Axe von 120° zusammenfällt, und gleichzeitig sind diese drei Richtungen symmetrisch gleich drei anderen, welche zu ihnen spiegelbildlich liegen in Bezug auf eine zur Deckaxe senkrechte Symmetrieebene. 5) a = 120°. Durch eine Drehung des Krystalls um 120° um die imaginäre [19] Deckaxe (Fig. 14) nimmt irgend eine reelle Fläche a (oben) die Stellung von a ,J an, so dass eine Fläche a v (unten) existiren muss, welche durch eine zweite Drehung mit a 1 zusammenfällt, woraus sich das Vorhandensein der Fläche a IY / "* f \ oben ergiebt, welche ihrerseits in / derselben Weise nach und nach die ' Existenz der Flächen a nl unten, , , f a 11 oben und a 1 unten bedingt. Die \ / \ / Gesammtheit dieser, nothwendig co- \ / ''o w , / existiren den, Flächen bildet ein \ * y Rhomboeder. Dieses Gesetz der Symmetrie kann ersetzt werden Fig. p, durch die gleichzeitige Existenz einer Deckaxe von 120° mit dem Gesetze des Parallelismus. Jede Richtung besitzt Deckgleichheit mit zwei anderen Rich tungen, mit denen sie durch Drehungen von 120° um die Deckaxe zusammenfällt, während mit ihnen symmetrisch gleich sind drei andere, jenen diametral entgegengesetzte, Richtungen. § 14. Um alle möglichen Combinationen der verschiedenen Symmetriegesetze mit den Deckaxen aufzufinden, werden wir in folgender Weise verfahren: Zuerst soll das Gesetz des Parallelismus combinirt werden mit den elf, in den §§ 10, 11