Ueber d. Herleitung aller krystallograpliischer Systeme etc. 1 5 3) Combinationen, in denen weder Axen von 60°, noch Axen von 90° vorhanden sind. Die Existenz zweier Axen von 180° bedingt diejenige einer zu ihnen senkrechten Deckaxe (§ 6). Im vorliegenden Falle ist eine solche von 60° oder 90° ausgeschlossen, daher der kleinste Winkel zwischen den hier zu betrachtenden Axen von 180° nur die Werthe 60° oder 90° haben kann. A) Wenn dieser Winkel den letzteren Werth annimmt, so muss es ausser den beiden ersten Axen noch eine dritte von 180° geben, welche senkrecht [13] zu den beiden ersten ist (§ 6], und es sind also dann drei zu einander senkrechte Axen von 180° vorhanden. Fig. 38. B) Hat der kleinste Winkel zwischen zwei Axen von 180° den Werth 60°, so giebt es in derselben Ebene im Gan zen drei Axen von 180°, loelche einander unter Winkeln von 60° schneiden, und eine zu ihnen senkrechte Axe von 120° (§ 6). Fig. 47. Diesem Falle kann noch eine Axe von 180° hinzuge fugt werden unter einem Winkel von 60° oder 90° mit den andern Axen von 180°, und da diese Axe nicht mit allen anderen Axen von .180° Winkel von 60° bilden kann, so müssen nothwendigerweise deren zwei, zu einander senkrecht, existiren. Dann ist aber auch eine dritte, zu ienen beiden senkrecht, nothwendig vorhanden. Die anderen Axen können nicht in den Ebenen liegen, welche durch die drei aufeinander senk rechten Axen gehen, weil sie mit diesen nur die Winkel 60° oder 90° bilden können. Betrachten wir eine dieser Axen D (Fig. 8), welche in das Innere eines sphä rischen Dreiecks ABC fällt, dessen Ecken den drei auf ein ander senkrechten Axen entspre chen, so können, da diese Axe mit den letzteren kleinere Winkel als 90° bildet, diese Winkel nur den Werth 60° besitzen. Man sieht aber leicht ein, dass eine solche Lage geometrisch unmöglich ist, weil man kein sphäri sches Dreieck ABB bilden kann, in welchem die Winkel A = B = 45°, I) = 120° und die Seiten AB = 90°, AD — DB — 60°. Daraus folgt, dass man zu dem in