40 Anmerkungen. hinreichend, dass ihre Auflösung auf die einer Kette irreduc- tibeler M&eZ’scher Gleichungen vom Primzahlgrade reducirt werden kann. Diese Behandlungsweise verdankt man C. Jordan. (Traitd, p. 386). Galois führte die algebraisch auflösbaren Gleichungen noch auf eine Kette reiner Gleichungen zurück. Um allerdings die bei der angegebenen Reduction auftretenden einfachen Absehen Gleichungen zu lösen, ist die Adjunction von Einheitswurzeln erforderlich. Die betrachtete Art der Rückführung der algebraisch auflösbaren Gleichungen auf irreductibele Gleichungen mit einfacher G-'a/ois’scher Gruppe*) ist auch der Erweiterung auf nicht auflösbare Gleichungen fähig und ordnet mithin die von einem höheren Standpunkte sehr specielle Frage nach der algebraischen Auflösbarkeit einem allgemeineren Probleme, nämlich der Reduction irgend einer Gleichung auf eine Kette irreductibeler Gleichungen mit einfacher öa/oA’sclier Gruppe, unter. (Vgl. hierzu die Dar stellung von 0. Iiölder, Zurückführung einer beliebigen alge braischen Gleichung auf eine Kette von Gleichungen, Math. Annalen Bd. 34). Während der hier vorliegende Aufsatz AbeVs wie die bis her besprochenen Ergebnisse den zu Grunde gelegten Ratio nalitätsbereich nicht fixiren, sind die Mief sehen Untersuchungen von Kronecker, vorzüglich in den zwei schon citirten Aufsätzen, über das algebraische Gebiet hinaus fortgeführt worden; Kron- eclcer beschäftigte sich mit dem Problem: für einen gegebenen Rationalitätsbereich alle AbeV sehen Gleichungen zu bestimmen. Wählt man als Rationalitätsbereich denjenigen, in welchem nur die rationalen Zahlen als bekannt angesehen werden und den man den absoluten Rationalitätsbereich nennt, so fallen alle Mief sehen Gleichungen unter die Kreistheilungsgleichungen. Mit anderen Worten: Jede Wurzel einer im absoluten Ratio nalitätsbereiche Mief scheu Gleichung ist als rationale Function von Einheitswurzeln mit rationalen Coefficienten darstellbar. Ausführliche Beweise dieses von Kronecker nicht vollständig bewiesenen Satzes wurden von TI. Weber in den Acta math. Bd. 8 (1886) und D. Hilbert in den Nachrichten der Gesell- *) Die Galois'sehe Gruppe einer irreductibelen einfachen Abel- schen.Gleichung besteht aus den Potenzen einer einzigen cyklischen Substitution. Eine Gleichung, deren Galois'sehe Gruppe aus einer cyklischen Substitution und deren Potenzen besteht, wird auch eykliseh genannt. Die Begriffe cyklische und irreductibele einfache AbeV sehe Gleichung decken sich.