Anmerkungen. 39 Kronecker auch für die specielle Gattung Abel’scher Gleichungen, die er ursprünglich MM’sche Gleichungen nannte, die Be zeichnung »einfache MM’sche Gleichungen« eingeführt; diese Bezeichnung hat sich eingebürgert. Während Abel durch Relationen zwischen den Gleichungs wurzeln das Wesen der algebraischen Gleichungen zu durch dringen suchte, war es ihvariste Galois (1811—-1832) vergönnt, den Kernpunkt für die Behandlung algebraischer Gleichungen aufzufinden. Galois hat die wichtigste Frage für die Be handlung der Gleichungen in einer Gruppe von Vertauschungen zwischen den Gleichungswurzeln entdeckt; diese Gruppe, welche zu jeder speciellen Gleichung gehört, spiegelt die charakteri stischen Merkmale der betreffenden Gleichung wieder. Galois’ hauptsächlichste algebraische Arbeit ist erst lange nach seinem Tode 1846 von Liouvillc publicirt worden; die Oeuvres mathe- matiques de Galois sind mit einer Einleitung von E. Picard 1897 von der Societe mathematique de France herausgegeben worden. Vom Standpunkte der üaZois’sehen Theorie sind die AM’schen Gleichungen auf folgende Art zu charakterisiren: die Galois 1 sehe Gruppe einer AM’schen Gleichung besteht aus vertausehbaren Substitutionen. Benutzt man den Begriff der Irreductibilität, so gilt auch die Umkehrung, eine jede irreductibele Gleichung, deren CraZoZs’sche Gruppe nur aus ver tauschbaren Substitutionen besteht, ist eine Abel' 1 sehe. Lässt man die beschränkende Bestimmung der Irreductibilität fort, so gilt nur das Theorem, dass jeder irreductible Factor einer Gleichung mit commutativer Galois’scher Gruppe eine Abel- sche Gleichung ist; die vorgelegte Gleichung selbst braucht keine Abel’sche zu sein, da sich nicht stets alle Wurzeln durch eine rational ausdriieken zu lassen brauchen. (Vgl. den schon citirten Traite von Jordan, p. 287 ff. Jordan bezeichnet übrigens weitergehend jede Gleichung mit commutativer Galois’scher Gruppe als Abel’sehe). Wie Abel »in allen Fragen gewohnt war, den höchsten Standpunkt einzunehmen«, so hat er auch in der vorliegenden Arbeit mit genialem Blick diejenige Gattung von Gleichungen, ■welche überhaupt für die algebraische Auflösung der Glei chungen die einfachste und fundamentalste ist, herausgefunden. Bedient man sich des Begriffes M&eZ’scher Gleichung, so kann das Kriterium für die algebraische Auflösbarkeit einer Gleichung auf folgende Weise ausgesprochen werden: Damit eine Glei chung durch Wurzelzeichen auflösbar sei, ist nothwendig und