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Eine besondere Klasse algebraisch auflösbarer Gleichungen. 27 Wenn die Gleichung: (64) yx = 0 nicht irreductibel ist, so sei: 65) ff x = 0 [150] die Gleichung niedrigsten Grades, welcher die Wurzel wenn die Coefficienten dieser Gleichung nur bekannte Grössen enthalten, genügen kann. Dann befinden sich die Wurzeln der Gleichung <px — 0 unter denjenigen der Gleichung yx = 0 (vergleiche Theorem I), und folglich können sie rational durch eine von ihnen ausgedrückt werden. Beachtet man dies, so sei Qx eine von x verschiedene Wurzel; in Folge dessen, was man im ersten Paragraphen gesehen hat, können die Wurzeln der Gleichung <f x = 0, wie folgt, ausgedrückt werden: X, Qx, Q'x, . . . Q n -'x, »1 > Qx,, ö 2 *, , . . . G n ~ l x, , x m— •u Gx m — \i * a* r fp- bildet man die Gleichung: (66) x n + A'x n ~ l + Ä'x n ~- + Ä"x n ~ 3 k -dt' 1 “ 0-b + A' n > = 0 , deren Wurzeln x, Qx, Q^x, . . . Q n ~'x sind, so können die Coefficienten A!, A", . . . AG) rational durch eine Grösse y ansgedrückt werden; diese ist Wurzel einer irreductiblen*) Gleichung: (67) y m + p y m ~' + p i y m ~* hPm-t V +Pm = 0 > deren Coefficienten bekannte Grössen sind (siehe § 2). * Man beweist leicht, dass diese Gleichung nicht reductibel sein kann. Es sei R = 0 die irreductible Gleichung in y und v ihr Grad. Eliminirt man y, so hat man eine Gleichung vom Grade n - v in x) daher ist Man hat aber: y = nm , daher muss sein; dies ist unmöglich, denn v ist kleiner als m. U. s. w.