12 N. H. Abel. Setzt man: (23) [y — y t )(y — y 3 ) (y — y m ) = y m ~ { + Rm-%y m ~* + Xm- 3 y m ' 3 + • • • + R t y + R a , so hat man: (24) xpx { = 4 "~1~ 4 R{ + 4s R<i ~f~ ‘ ‘ ‘ ~1~ 4n—2 Rfn—a l 4?z—i R» + ^4 2/i + -^a2/i + ' •' + s2/i n 2 + 2/” i_1 Die Grössen 1? 0 , B { , ... B m _ t sind rationale Functionen von ?/ 2 , y 3 , t/ 4 , . . . y m \ aber man kann sie durch y l allein ausdrücken. Multiplicirt man nämlich (23) mit y — y { , so hat man: [y — yi)[y — y*)---(y — y m ) = y m +p l y m ~ i +P i y m ~* + • • • +P m - l y +p m = y m + {R m -« — ?/Jy m ~' + (Ä m _, —«/, R m - i ]y m ~ i -I . Vergleicht man die gleich hohen Potenzen von y 7 so schliesst man: (25) Rm—i 24 ~t - 14 j -^OT-3 = 2/* R-m-i +14 = 2/! + 14 24 + 14 > Rm—t == y^Rm—i +Pz=ifl + p t yl +1424 +14 > Rf, = 2/f" 1 + 14< 2 + 142/!” 3 H hPm-i ■ Setzt man diese Werthe ein, so wird der Ausdruck von xpx l eine rationale Function von «/, und von bekannten Grössen. Man sieht, dass wenn der Nenner: K + R l y l + R i y* l + ---+ R m -*y7~* + 2/!”'* nicht Null wird, es stets möglich ist, xpx^ auf diese Art zu finden. Man kann thätsächlich der Function y x eine unend liche Anzahl Formen geben, welche diese Gleichung unmöglich machen, z. B. indem man setzt: (26) y i — [a — £,)(« — Qx { )[a — 0+,) ...(«— ö” -1 ^), wo a unbestimmt ist, dann kann der Nenner, um den es sich handelt, nicht verschwinden. Da dieser Nenner nämlich das selbe wie: