8 N. H. Abel. In dem letzteren Falle sei x 3 eine Wurzel, welche von den in (8) und (10) enthaltenen Wurzeln verschieden sei, dann hat man eine neue Reihe von Wurzeln: x 3 , Qx 3 , 0*x 3 , ... Q n 'x. J! " Man beweist genau auf dieselbe Art, dass die n ersten dieser Wurzeln unter einander und von den Wurzeln (8) und (10) verschieden sind. Indem man diesen Process fortsetzt, bis alle Wurzeln der Gleichung cpx = 0 erschöpft sind, sieht man, dass die u Wur zeln dieser Gleichung sich in mehrere Gruppen theilen, die aus n Termen bestehen; daher ist ft durch n theilbar; be zeichnet man mit m die Zahl der Gruppen, so hat man: (11) ft = m • n . Die Wurzeln selbst sind: (12) Wenn m = 1 ist, so hat man ft = n und die ft Wurzeln der Gleichung cpx = 0 sind durch: (13) ausgedrückt. In diesem Falle ist, wie man weiter sehen wird, die Gleichung cpx = 0 algebraisch auflösbar. Aber diese Eigenschaft findet nicht immer statt, wenn m grösser als die Einheit ist. Man kann dann nur die Auflösung der Gleichung cpx — 0 auf diejenige einer Gleichung w-ten Grades reduciren, deren Coefficienten von einer Gleichung m-ten Grades ab- hängen; dies wollen wir im folgenden Paragraphen beweisen. §2. Betrachten wir irgend eine der Gruppen (12), z. B. die erste, und setzen wir: - \(cc — Qx { )(x — Ö 2 *,) .. . [x — Q n 1 cc,) m„n-i -j [-A^-^x+A^^O