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Eine besondere Klasse algebraisch auflösbarer Gleichungen. 7 Die Gleichung (7) ergiebt: Q k Q n x i = Q k x i , d. h. Q n+k x i — Q k x l . Diese Formel zeigt, dass von dem Term G n ~ i x l aus die Glieder der Keihe (8) sich in derselben Aufeinanderfolge re- produciren. Die n Grössen (8) sind daher die einzigen der Keihe (5), die unter einander verschieden sind. Dies vorausgeschickt, sei, wenn ft )> n ist, x 4 eine andere Wurzel der vorgelegten Gleichung, welche nicht in der Reihe (8) enthalten sei, dann folgt aus dem Theorem I, dass alle Grössen: (9) , Qx t , 0 2 * 2 , . . . Q n ~'aj 4 , . . . gleichfalls Wurzeln der vorgelegten Gleichung sind. Ich be haupte nun, dass diese Reihe auch nur n unter einander und von den Grössen in (8) verschiedene Grössen enthält. In der That, da Q n x l — x l = 0 ist, so hat man infolge des Theo rems I: Q n x i — x, — 0 und folglich: Q n+k x i = 0**,. Daher sind die einzigen Grössen der Reihe (9), welche unter einander verschieden sein können, die n ersten: (10) x t , ©*5, 0 2 x ä , j. . Q n ~'x t . Diese sind nothwendiger Weise unter einander und von den Grössen (8) verschieden. Wäre nämlich etwa: Q m x t = Q v x t , wo m und v kleiner als n sind, so würde folgen: Q m x { —G v x h \ dies ist aber unmöglich, denn alle Grössen (8) sind unter ein ander verschieden. Hätte man hingegen: G m x ± = Q v x l , so würde folgen: Q n —m Q v x i = Q n ~ m Q m x s = Q n ~ m+m x ± = Q n x i = x 3 , daher: x, = Q n ~ m+V x { , das heisst die Wurzel x t wäre in der Reihe (8) enthalten, was gegen die Voraussetzung ist. [135] Die Anzahl der Wurzeln, welche in (8) und (10) enthalten sind, ist gleich 2m; daher ist ft entweder gleich 2 n oder grösser als diese Zahl.