134 Anmerkungen. sitione reeiproca aliorum erschien in den Acta Erudito- rum. Mai 1697, sie ist wieder abgedruckt im zweiten Bande der Opera, Genevae 1744, 8. 768—775. Ldonhard. Euler bat das Verdienst, die Einzelunter suchungen der Brüder Bernoulli zusammengefasst und die Vari ations-Rechnung als besonderen Zweig der Analysis begründet zu haben. In seiner ersten Arbeit über diesen Gegenstand (Comment. Acad. imp. t. VI ad annos 1732/33, Petersburg 1739) formulirt er das isoperimetrische Problem in grosser Allgemeinheit und giebt vermöge seines Multiplicators eine einfache Lösung. Veranlasst durch das Problem der Brachisto- chrone im widerstehenden Mittel geht er dann weiter und betrachtet Aufgaben, bei denen als Nebenbedingung eine Differentialgleichung hinzutritt; seine Lösung ist jedoch un richtig, da er auch hier das Princip von Jak. Bernoulli an wendet. (Comment. t. VII ad annos 1734/35, Petersburg 1740, Mechanica sive motus scientia, Bd. II, Petersburg 1736.) Bald darauf erkennt er, dass jenes Princip nicht allgemein gültig ist, findet aber keinen Ersatz dafür (Comment. t. VIII ad annum 1736, Petersburg 1741). Erst 1744 überwindet er diese Schwierigkeit, und nun erscheint sein Hauptwerk: Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis iso- perimetrici latissimo sensu accepti, Lausannae et Ge nevae 1744. Jetzt löst Euler das Problem in seiner ganzen Allgemeinheit. Er lässt zu, dass der Ausdruck unter dem Integralzeichen Ableitungen beliebig hoher Ordnung enthält, und erledigt den Fall, dass in ihm noch weitere Integrale oder sogar Grössen Vorkommen, welche durch Differential gleichungen definirt werden. Ganz besonders werthvoll wird das Werk durch die zahlreichen, schönen Beispiele, denen die folgenden 150 Jahre wenig neue hinzugefügt haben. In der Methodus inveniendi haben so die Forschungen der ersten Periode der Variations- Rechnung ihre classische Darstellung gefunden. Euler selbst hat es ausgesprochen, dass er sein Werk nicht für vollendet ansehe. Seine Methode ist -nämlich eine wesentlich geometrische. Dies hat den Vortheil, dass die Behandlung der einfacheren Probleme überaus klar und durch sichtig wird, sodass die Methodus noch heute als Einführung in die Variations-Rechnung treffliche Dienste leisten dürfte. Sobald aber das Bernoulli'sehe Princip seine Geltung verliert,