Volltext Seite (XML)
270 Hyperbel. telpunkt der Hyperbel. Endlich nennt man noch, nach Analogie der Ellipse, eine Länge die kleine Axe der Hyperbel. Daraus wird , und wenn man diesen Werth in die Gleichung « e bringt ^----V^x(a-f-x). Gewöhnlich Pflegt man aber die Glei chung für die Hyperbel so zu formen, daß die Abscissen vom Mit telpunkte aus gerechnet werden, L, k sind die Brennpunkte; sie sind auch bei dieser Curve diejenigen Punkte der Axe, wo die Or dinate dem halben Parameter gleich wird; und gleich weit vom Mittelpunkte entfernt. Aus der obigen Gleichung bx^v oder: —(a-i-x)^ leiten wir nun Folgendes für den Lauf der Hyperbel ab: 1) Sie schneidet die Abfcissenlinie einmal im Anfangspunkte, hernach in der Entfernung, welche die Zahl —a ausdrückt; denn > ^ wird o sowohl für x —o, als auch für x^ —a. 2) Sie hat vom Anfangspunkt der Abscisien nach der posi tiven Seite zu zwei Schenkel, den einen über, den andern unter der Axe; denn jedes ^ hat zwei gleiche entgegengesetzte Werth«. Diese laufen beide ins Unendliche fort, denn jedes positive x gibt einen Werth für und zwar diesen um so größer, je größer es selbst ist. 3) Für alle die negativen Werthe von x, die zwischen o und — i» liegen, gibt es keine Ordinalen, denn für sie wird x-j-a po sitiv, der andere Faktor unter dem Wurzelzeichen ^ negativ, folg lich ihr Produkt negativ, und die V" daraus unmöglich. 4) Für alle Abscissen von —a an bis ins Unendliche durch alle größere negative Zahlen gibt cs wieder zwei gleiche und ent gegengesetzte Werthe; denn ist x> — a, so ist x-j-a negativ, auch, folglich ihr Produkt positiv, und die Wurzel daraus möglich, entweder positiv oder negativ. Je größer man die negativen Werthe von x nimmt, desto größer wird Also geht die Hyperbel von dem Punkte 6 an, der um —a vom Anfangspunkte entfernt ist, mit zwei gleichen Schenkeln, einen über der Axe, einen unter ihr, ins Unend liche fort.