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2 Geometrie. die concentrischen Kreise b ß, a u, c y, ziehe einen beliebigen Radius 0 q p r, ziehe durch q eine Parallele zu 0 a, durch p eine Parallele zu 0 b, so schneiden sich diese Linien in einem Punkt m der Elipse; und wenn man m mit r verbindet, so ist dies die zum Punkt m der Ellipse gehörige Nor male. Wiederholt man diese Construction, indem man mehrere Radien von 0 aus zieht, so erhält man zur Verzeichnung der Ellipse eine Folge von Punkten und die denselben entsprechenden Normalen. b) Annäherungsverfahren. Fig. 3, Taf. I. Es sei 0 der Mittelpunkt, aa t die grosse, b b, die kleine Axe der Ellipse. Mache 0 c = Ob, 0 d = 0 d t = 3 a -^ 0 e = 0 e x = 4 ^ ziehe ~ 2 e x d m, ej d t m,, edn, ed t n,, und beschreibe aus den Punkten d, cR, e, e 1 die Kreisbögen nam, ^ % nq , n lq iq , m b nq , so bilden diese zu sammen eine der Ellipse nahe kommende Linie, vorausgesetzt, dass das Ver- hältniss zwischen der grossen und kleinen Axe nicht grösser als 2 ist. Ist dieses Verhältniss grösser als 2, so muss die genauere Methode gebraucht werden. 4. Verzeichnung der Cycloide. Fig. 4, Taf. I. Es sei 09 x die Grundlinie, 049 die Hälfte des Erzeugungskreises in seiner anfänglichen Stellung. Man theile den Halbkreis in mehrere, z. B. in 9 gleiche Theile und ziehe die Sehnen 01, 02, 03, 04 . . ., trage die abge wickelte Länge eines der Bögen 01, 12, 23 . . . von 0 aus eben so oftmal auf, als die Anzahl der Theile beträgt, in welche der Halbkreis getlieilt wurde, und ziehe durch die Punkte R, 2 t , 3 t ... parallele Linien zu den Sehnen 01, 02, 03 . . ., so sind die Durchschnittspunkte R, II, III ... die Mittel punkte von Kreisbögen 0 a, u a, ab ... , aus welchen die zu verzeichnende Cycloide um so genauer zusammengesetzt werden kann, in eine je grössere Anzahl Theile der Halbkreis getlieilt wurde. 5. Verzeichnung eines Bogenstiickes einer Epicycloide. Fig. 5, Taf. I. Es sei 06 das gegebene Bogenstück des Grftndkreises, für welches das epicycloidisclie Bogenstück 06 2 verzeichnet werden soll; n das Verhältniss zwischen den Halbmessern des Grundkreises und des Erzeugungskreises. Man theile das Bogenstück 06 in mehrere, z. B. in 6 gleiche Theile 01 = 12 = 23 =.... = a, nehme ein Bogenstück von der Länge (11 -f- 1) a, trage dasselbe von 0 aus ebenfalls 6 Mal auf, verbinde die sich erge benden Punkte R, 2 1? 3!, mit den Punkten 1, 2, 3 . . ., und be schreibe aus den Durchschnittspunkten I, II, III die Kreisbögen 0R, R 2 S , 2 2 3 2 . . ., so bilden diese zusammen annähernd das zu verzeichnende epi- cycloidische Bogenstück.