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§. 7. Mittelaiter. 33 Im neunten Jahrhundert (880?) soll der arabische Prinz Mo- hamed ben Gabir al Battani, von den Lateinern Albateg- nius genannt, der bedeutendste Astronom seinerZeit (der Ptole- mäus der Araber), beiden trigonometrischen Rechnungen, anstatt der bis dahin gebräuchlichen Sehnen, die halben Sehnen, den dop pelten Winkel, d. i. die Sinus eingeführt haben, wogegen Han bei behauptet 1 ), daß die Indier bereits vorher immer nur mit dem Sinus gerechnet hätten. Demselben Albategnius schreiben Chasles 2 ) und Hankel (a. a. 0., S. 281) auch die Auffindung derjenigen Fundamentalfor mel der sphärischen Trigonometrie zu, welche die Beziehung zwi schen den drei Bogenseiten a, b, c und dem körperlichen Winkel A darstellt, nämlich: cos a = cos b cos c -f- sin b sin c cos A 3 ). Zweites Capitel. Jlittelaltei*. §• '■ Bis auf Karl den Groben 4 ) (768—814) war der größte Theil Europas, durch die Völkerwanderung und unaufhörlich ver- al g6br (voii gabar = herstellen, einrichten, restaurare) bedeutet das Ergänzen einer Negation, d. h. das Versetzen eines negativen Gliedes einer Gleichung auf die andere Seite; almukäbala (= oppositio, Vergleichung) bedeutet die Vereini gung gleichartiger Glieder beider Seiten mit einander. Man vergleiche hiermit Cantor’s Erörterungen a.a.O., S. 620, der beide gedachte Verfahren mit Her stellung und Gegenüberstellung übersetzt. 1) ,Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittelalter', Leipzig 1874, S. 217. Nach Wolf in seiner ,Geschichte der Astronomie 4 , S. 120 wurde die gedachte halbe Sehne bei den Arabern Gaib oder Busen und dann bei Uebersetzung ins Lateinische Sinus genannt. 2) Chasles, S. 571. An dieser Stelle wird auch bemerkt, daß man in Albategnius’ Werken die erste Idee zu den Tangenten der Bögen und den Aus- cosimts druck vorfindet, dessen sich die Griechen nicht bedienten. sinus 3) Ptolemäus verstand es übrigens schon, jedes beliebige sphärische Dreieck auf das rechtwinklige Dreieck zurückzuführen (Wolf, a. a. 0., S. 118 etc.). 4) Gewöhnlich wird angenommen, daß Karl der Große für das christliche Rühlmann, Vorträge. 3