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482 §. 40. Erster Theil. Erstes Zusatz-Capitel. diesen Beweis in seinen ,Anfangsgründen der Mathematik' wovon die erste Auflage 1759 erschien. In Deutschland scheint diesen Kästner’schen Beweis zu letzt Ide in seinem sehr gut verfaßten ,Systeme der Mechanik fester Körper' (Berlin 1802) zum Parallelogramm der Kräfte benutzt zu haben, weshalb wir ihn nach Ide (möglichst abgekürzt) in der Note 1 aufgenommen haben. Zu den vorzüglichsten Bemühungen den Beweis des Satzes vom Parallelogramme der Kräfte ohne Hülfe des Hebels zu führen, sind aus der Zeit des 18. Jahrhunderts, noch die von DanielBernoulli 1 ) und Lambert 2 ) zu zählen, vor Allem aber die von d’A1 embert und Lap 1 ace. Den ersten analytischen Beweis vom Parallelogramme der Kräfte lieferte 1778 d’Alem- bert in den ,Opuscules‘, Tome VI, pag. 360 (S. 191), wobei er (1) P sin cp = Q sin (cp—cp), w. z. b. w. Um nun auch die Größe der Eesultirenden R zu finden verlängere man A C über C hinaus nach N und betrachte P als Resultirende, welche den beiden ändern Q und R das Gleichgewicht hält. Diese Forderung ist aber nach (1) an die Bedingung geknüpft: Q sin BCN = R sinyCN, d. i. Q sin (180—cp) = R sincp, d. i. (2) Q sin cp = R sin cp Da nun P und Q, so wie der Winkel AC R = cp gegeben sind, so ent halten die Gleichungen (1) und (2) nur zwei unbekannte Größen, nämlich R und cp, die sich aber ohne Weiteres finden lassen. Zuerst erhält man aus (1) wegen P sin cp = Q [sin cp cos cp — sin cp coscp): , Q sin cp (3) ^ = -p +'gWp Aus der Verbindung von (2) und (3) folgt ferner R sin cp = (P -f- Q cos cp) tg cp und (4) R coscp = P -f- Q coscp Jetzt (2) und (4) quadrirt, giebt: R 2 sin 2 cp = Q 2 sin 2 cp R 2 cos 2 cp = P 2 -f- 2 P Q cos cp Qc cns 2 cp woraus durch Addition etc. folgt: (5) R 2 = P 2 + Q 2 + 2 PQ coscp Für den Fall, daß P = Q ist, erhält man aus (5) noch (6) R = 2 P COS-i cp. 1) ,Examen principiorum mechanicae et demonstrationes Geometricae de compositione et resolutione virium 1 . Commentari-Acad. Petropol. Tom. I, 1724 pag. 26. 2) ,Beiträge zum Gebrauche der Mathematik 1 2. Theil 2, (Berlin 1770), S. 468.
