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§. 4. Aelteste Zeit. 19 Klügel bemerkt hierzu 1 ), daß der Weg, den Archimedes bei allen diesen Beweisen (für die Oberfläche des Kegels, der Kugel, der Konoide etc.) genommen habe, zwar lang und für ungeduldige Leser nicht gemacht sei, allein zur Uebung des mathematischen Geistes, wegen des Scharfsinnes, bei An wendung geringer Hülfsmittel, nicht genug empfohlen werden könne. Anmerkung 1. Es dürfte von Interesse sein, hier noch der Sand rechnung des Archimedes, oder seiner Schrift ,Sandeszahl 1 zu ge denken, worin er zeigt, daß es nicht nur fälschlich sei, die Anzahl der Sand körner auf der Erde als unzählbar zu bezeichnen, sondern auch nachweist, daß man sogar die Anzahl der Körner eines Sandhaufens berechnen könne, dessen Größe dem Weltall gleich ist. Archimedes macht hierzu folgende Annahme: 1) Es sind 10000 = 10 4 (eine Myriade) Sandkörnchen erforderlich, um den Raum eines Mohnkörnchens auszufüllen 2 ). 2) Auf einen Zoll (dactylus), richtiger auf eine Fingerbreite kommen 40 Mohnkörner. Bezeichnet man daher den Durchmesser eines Mohnkörnchens mit ff, so ist 1 Zoll = 40 . cf. 3) 10000 Zoll sind gleich einem Stadium, daher auch ein Stadium = 10 4 . 40 cf = 4 . 10 5 <f. 4) Der Durchmesser = d der Erde sei höchstens 10 6 Stadien, d. h. es ist d = 10 6 . 4 . 10 5 cf = 4 . 10 11 cf zu setzen. 5) Der Abstand = a der Erde von der Sonne sei höchstens 10 4 d, d. i. a = 10 4 . 4 . 10 11 . cf = 4 . 10 15 cf. 6) Der Durchmesser = D des Weltalls (der Fixsternsphäre) läßt sich aus der Proportion bestimmen. D : a = a : d. hieraus folgt: D = d. i. nach (4 und 5): (4 . 10 15 dl 2 * - VW- = 4 • io "* Bezeichnet man daher schließlich die Anzahl der Sandkörner im Welt all mit beachtet, daß sich die Kugelinhalte wie die dritten Potenzen ihrer 1) „Mathem. Wörterbuch“ Artikel ,Exhaustions-Methode‘, S. 162. Man sehe hierüber auch in Montucla’s ,Histoire des mathömatiques*, T. I, p. 282, die Note E, welche die Ueberschrift trägt: „Sur les demonstrations ad absurdum, ou la methode d’exhaustion emplovöe par Archimede, et les göometres anciens.“ Ferner in Suter’s ,Geschichte der mathem. Wissenschaften 4 , Bd. I, S. 76 und Bd II, S. 228. 2) Die Größe eines Sandkörnchens ist hiernacli jedenfalls zu gering. In der obigen Behandlung der Frage folgt der Verfasser R. Wolf, ,Geschichte der Astronomie* S. 36, Note 11. 2*