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§. 25. Vom letzten Drittel des 18. bis zum ersten Drittel des 19. Jahrh. 267 2. 2 MW- = 2 MV 2 23IÜ 2 , offenbar die algebraische Uebersetzung des bezeichneten Theo rems, welches zu beweisen war und jetzt das Pri n cip Carnot’s genannt wird. Statt 2. läft sich auch schreiben: 3. 2 31U 2 - - 2 31W 2 — 2 31V 21 ). Hiernach entspricht also die Summe der durch den Stof unelastischer Körper verlorenen leben digen Kräfte denjenigen lebendigen Kräften, welche sich aus den verlorenen Geschwindigkeiten berech nen lassen 2 ). U in derZeit dt durchlaufene Raum U dt cos. ß ist. (Vorausgesetzt, daß TV die Geschwindigkeit vor dem Stoße, V die Geschwindigkeit nach dem Stoße und U die Geschwindigkeit ist, welche durch den Stoß verloren ging). Sodann erhält man aber, znfolge des Principes der virtuellen Geschwindig keiten (S. 197 etc.), für das ganze System die Gleichung: ZmVUdt.cos.a - - 0, Wenn man demnach alle Glieder der Gleichung 1. mit dt multiplicirt denkt, das letzte Glied als = Null wegläßt, so erhält man den Ausdruck 2. 1) Für den centralen, geraden Stoß (kugelförmige Körper von gleicher Dichte vorausgesetzt) läßt sich das Carnot’sehe Princip sehr leicht mittelst der bereits S. 106 (Note 1) gewonnenen Sätze beweisen. Aus II der betreffenden Formeln ergiebt sich zunächst: 0 = m, y, + ® 2 — m, u ■— m 2 u. Multiplicirt man hier links und rechts mit ?«, so erhält man ferner: a) 0 = m, y, w -f- m 2 v 2 u — m, u- — m 2 %C'. Nach S. 107 findet aber beim Stoße elastischer Körper stets ein Verlust an lebendiger Kraft statt, für dessen Größe = TV man auch schreiben kann: b) TV = ffl.V + jm 2 vy — * (m, + m 2 )iV. Zieht man aber von b die Gleichung a ab, so ergiebt sich schließlich: c) TV = ^ in, (y, — uf + ~ m 2 (u — v 2 y. Aus letzterer Gleichung folgtaber, „daß die durch Einwirkung eines Stoßes zwischen zwei unelastischen Körpern verlorene leben dige Kraft derjenigen lebendigen Kraft gleich ist, welche zu der respective von jeden der Körper verlorenen (oder gewonnenen) Geschwindigkeit gehört“. Strengere Beweise des Carnot’schen Principes lieferten Lagrange, sowohl in seiner ,Analytischen Mechanik 1 (I, Sect. IV, Art. 36) als auch in seiner ,Functionen-Theorie‘. 3. Abtheilung, Capt. VII, Art. 44 \ ferner auchCoriolis in der 2. Auflage seiner .Mechanik 1 (deutsch von Sehnuse, S. 115). 1 2) In letzterem Sinne genommen (oder der Gleichung a in der Note 1 ent sprechend) hat bereits vor Carnot, nämlich wie schon Seite 236 gezeigt wurde,