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§. 25. Vom letzten Drittel des 18. bis zum ersten Drittel des 19. Jahrh. 263 Schumacher umfaßte in eigenthümlicher Behandlung beinahe alle Resultate, die man Euklid, Desargues und Pascal verdankt, bereicherte aber auch außerdem die Geometrie mit mancherlei neuen Sätzen. Car not hatte begriffen, dass die Wahrheiten der analytischen Geometrie eine viel allgemeinere Auffassung zuließen, wenn man davon abging, alle Eigenschaften nur vermittelst eines bestimmten Coordinatensystemes zu erhalten, vielmehr sich bestrebte, eine allgemeinere Auffassung der geome trischen Figuren von der Analysis aus zu erreichen >) und gleich zeitig die Unbestimmtheiten der letzteren bei mehreren Lösungen in einer Weise zu entfernen, welche schon von Leibniz und d’Alembert erstrebt wurde 2 ). 1) Hankel in seinem bereits S. 256, Note 1 genannten Buche sagt über Carnot’s ,Geometrie de position 1 sehr treffend u. A. (S. 12 etc.) Folgendes: „In einem gewissen Gegensätze zu Monge behandelte Carnot nicht die Gestaltsverhältnisse im Baume, sondern wesentlich die Größenverhältnisse der Figuren. Die alte Geometrie beschäftigte sich, wie bekannt, fast ausschließlich mit den geometrischen Größen und so kann es nicht Wunder nehmen, daß Car- not manche Sätze von Neuem erfand, welche dem Alterthume schon bekannt waren. Dennoch bereicherte Carnot auch die Wissenschaft mit gar manchen neuen Sätzen, denen er überdies durch Einführung des Negativen eine auf die verschiedensten Lagenverhältnisse sofort übertragbare Form gab. Deshalb nannte er seine Geometrie die der „Position“, weil sie eben alle Positionen mit einem Male behandelte; das Wort hat sich eben so wenig wie seine Methode in der Wissenschaft gehalten und hat nichts mit dem zu thun, was man heute „Geometrie der Lage“ nennt“. Ueber Carnot’s verfehltes Bemühen, die Bedeutung des Negativen klar zu legen, berichtet Hankel recht eingehend in einer anderen Schrift: ,Ueber die Vieldeutigkeit der Quadratur und Rectification algebraischer Curven 1 . Leipzig 1864, Seite 7, Note. 2) Schon Leibniz vermißte in der neuen Analysis noch eine Rechnung der Lage (calculum situs) und wollte deshalb, daß man in den Ausdruck der Bedingungen einer geometrischen Aufgabe die Verschiedenheit in der Lage der gleichnamigen Theile der verglichenen Figuren einführen sollte, damit man, wenn sie durch einen gut ausgezeichneten Charakter gesondert worden wären, man sie desto leichter in der Rechnung darstellen könnte. Es ist zu bedauern, daß Leibniz nicht selbst die in Rede stehende Idee in der betreffenden Schrift ,De analysis situs'(Gerhardt, ,Leibniz’ mathematische Schriften 1 . Abth. II, S. 433) ausgeführt hat. d’Alembert in der ,Encyclopödie‘, Art. Situation bemerkt: „daß die Analysis der Lage Etwas sei, was der gewöhnlichen Algebra fehle und es des halb zu wünschen wäre, daß man Mittel fände, die Lage mit in die Rechnungen zu bringen, dadurch würden diese meistens sehr abgekürzt werden“. Leider lieferte auch d’Alembert diese Mittel nicht. Alle diese Andeutungen zu