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216 §. 21. Erster Theil. Fünftes Capitel. Aus bereits erörterten Gründen werde jetzt noch auf La- grange’s treffliches Werk: ,Traitö de la resolution des equa- tions numeriques de tous les degres, avec des notes sur plusieurs points de la theorie des equations algebriques 1 aufmerksam ge macht, welche 1797 zuerst erschien und jetzt Tome VIII der ,Oeuvres de Lagrange 1 bildet. Unter den vielen beachtenswerthen Gegenständen dieses Werkes mögen als Beispiele nur zwei her vorgehoben werden. Erstens die Berechnung der reellen Wurzeln einer höheren Gleichung aus ihren Grenzen, wovon allerdings Newton 1 ) zuerst eine Auflösung von sehr einfacher Art gab, die sich aber nicht in allen Fällen ausreichend erwies und wofür Lagrange eine andere Auflösung einführte, welche sich auf die Eigenschaften der Kettenbrüche gründete. Zweitens Versuch des Beweises, daß die Wurzeln einer jeden Gleichung, in welcher die Exponenten der unbekannten Größe alle ganze Zahlen sind, entweder reelle Größen, oder imaginäre von der Form A ± B ]/— q sind, A und B als reelle Größen vorausgesetzt. Lagrange gab diesen Beweis zu erst in den Berliner Memoiren von 1772, worin er auch zugleich zwei Mängel hervorhebt, welche Euler’s Beweis desselben Satzes in denselben Memoiren von 1749 besitzt 2 ). Endlich werde noch des sogenannten Lehrsatzes des La grange gedacht, welcher sich auf die Entwickelung einer ge gebenen Function nach steigenden Potenzen der unabhängigen Veränderlichen in eine Reihe für den Fall bezieht, daß eine Func-' tion in unentwickelter Gestalt gegeben vorliegt, in welchem Falle die Reihen von Taylor (S. 155) und von Maclaurin (S. 158) nicht ausreichen. Ein Fall dieser Art wird (u. A.) durch die Gleichung dar gestellt 3 ): 8 = x + yf(s), in welcher 's als unentwickelte Function der unabhängigen Ver änderlichen g und y erscheint. Lagrange zeigt, wie man in 1) Man sehe hierüber auch KlUgel’s ,Mathem. Wörterbuch“. Zweiter Theil. Artikel „Gleichung“, S. 441. Ferner Drobisch’ vorher citirtes Buch über höhere Gleichungen. S. 258 etc. 2) ,Oeuvres“, Tome III, pag. 479 unter der Ueberschrift „Sur la forme des racines imaginaires des dquations“. Später wurde allerdings auch dieser Beweis als nicht gelungen bezeichnet. 3) ,Oeuvres“, Tome IX, p. 163, Nr. 85. In der Gruson’schen Ueber- setzung, S. 161 (1881), Nr. 97.