Volltext Seite (XML)
206 §. 21. Erster Tkeil. Fünftes Capitel. geschichtlich erörtert, so daß wir liier nur den Lagrange’schen Beweis zu geben haben '). Hierzu macht derselbe in Bezug auf die allgemeine Gleichung I, S. 199 darauf aufmerksam, daß wenn der analytische Ausdruck für die Bedingung der Verbindung der materiellen Tunkte die Zeit nicht enthält, die Variationen Sx, Sy und de den Differen tialen dx, dy und dz (welche die in der Zeit dt von dem Körper wirklich durchlaufenen Räumen repräsentiren) gleich gesetzt werden können. Lagrange schreibt daher ohne Weiteres: (dxd 2 x + dyd 2 y-{- dzd 2 z\ ) + 2(Pdp+ Qdy+ Rdr ...) = 0, wofür wir (für unsere Zwecke) analog II, S. 199 wieder setzen: (dxd 2 x + dyd 2 y + dzd 2 z\ „ ,„ 7 , 7 . 2 m ( 1 J a J = 2m(Xdx + 1 dy + Zdz), daher ergiebt sich, nach Seite 173: 2mvdv = 2m(Xdx -f- Ydy -f- Zdz) und integrirt: IX. 2 = J' 2m(Xdx + Ydy -f- Zdz) = Const., oder i 2mv 2 = f mRds.cos2 -)- Const., mit Bezug auf Note 1, S. 173 gegenwärtigen Werkes 2 ). Für ein Differential x dy ^ y dj^ |" nac p VII, S. 203) erhält man daher, wenn man vorstehende Werthe substituirt: xdy — ydx _ w(^+jT) = 2 dt dt Differenzirt man hier nochmals, so folgt: xd~y -f- dxdy— yd-x dydx xd 2 y — yd'x dior 2 dt du _ dt ’ d. i. nach VI, S. 25: 2m r~ = 2m(Yx — Xy), wofür man auch setzen kann, wenn man die Resultirende der beiden Kräfte 1' und X mit P und die normale Entfernung der Richtung derselben von der Drehachse mit p bezeichnet: VII , = dt 2mr 2 Diese Gleichung giebt an, wie sich die Winkelgeschwindigkeit mit der Zeit ändert. Offenbar ist dieselbe der II, Seite 70 analog. 1) ,Mecanique analytique 1 , Partie II, Section III, §. V, Nr. 33. 2) Lagrange bezeichnet den Winkel, welchen die Resultirende B mit dem Wegelemente ds einschließt mit <r und schreibt daher: eosa = cos l cos X + cos m cos u -f- cos n cos y, wofür wir bereits Seite 173 fanden: cos £ = cos a cos X -f- cos ß cos fl -)- cos y cos v.