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§. 21. Das achtzehnte Jahrhundert. 201 größerere Allgemeinheit gab, drückt Lag ränge in vollkommen ster Fassung folgendermaßen aus '): „Die Bewegung des Schwerpunktes eines völlig freien Systemes von Körpern, die unter einander wie immer angeordnet sein mögen, ist dieselbe, als wären alle Körper in einem einzigen Punkte ver einigt und als wenn gleichzeitig jeder von denselben accelerirenden Kräften so zur Bewegung veranlaßt würde, wie in dem natürlichen Zustande der letzteren 2 ). Der mathematische Beweis dieses Satzes giebt Lagrange (der Hauptsache nach) folgendermaaßen: Nehmen wir an, daß x, y, z die Coordinaten des Schwerpunktes aller materiellen Punkte des Systemes am Ende der Zeit t sind, ferner mit {, tj, C die vom Schwerpunkte S aus gezählten Ordinaten des Ortes eines Punktes, dessen Masse vi ist, für dieselbe Zeit bezeichnet werden, wobei erinnert wird, daß wir auch hier durch x, >j. z die auf den festen Achsen UX, UY und UZ gezählten Ordinaten des Ortes ausdrücken, in welchem sich m am Ende der Zeit t befindet, so hat man *=* 1 + f;2/ = 2/ 1 + ij;*=s 1 +f. Ferner ist. nach bekannten Sätzen vom Schwerpunkte: - m I = 0; 2 m r, = 0; - m £ = 0, daher auch ~m = 0; 2 m d ^ = 0 und 2m y/J = 0. dt 2 d t- d t 2 Sodann ist auch: folglich, da das letzte Glied dieser Gleichung = Null ist 2n man auch schreiben kann: „ 2 x d 2 Xi d 2 £ ~ m dii = - Hi ~dt 2 + dT’ _ d 2 x d 2 x l . -m (H2 = 2 m - d - , wofür _ d 2 x d 2 x L _ ~ m dt 2 ~ dt 2 ~ m ' In ganz gleieher Weise findet sich auch d 2 y d ! y, .. , - 1,1 di = li 2m 1111,1 2m C f4= d l Zl 2m. dt- dt 2 1) ,Mecanique analytique 1 , Partie II, Section III, §. I, Nr. 3. 2) Folglich bewegt sich ein völlig freies System stets so, als wenn alle Massen im Schwerpunkte (Massenmittelpunkte) vereinigt wären und auf diesen alle äußeren Kräfte, je nach ihrer Richtung wirkten. (Alle inneren Kräfte heben sich auf). Ausführlich, vom geschichtlichen und philosophischen Standpunkte aus betrachtet, erörtert besonders den modernen Satz von der Bewegung des Schwerpunktes, Dähring, ,Principien der Mechanik' und zwar im dritten Capitel, Nr. 111 bis mit Nr. 113. (Zweite Auflage).