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142 §. 16. Erster Theil. Viertes Capitel. blematis isoperimetrici“ (Basilae, 1701). Diese Schrift, die letzte wissenschaftliche That Jacob B.’s, wurde überall für ein Meister stück der Erfindung und des Scharfsinns und für die genialste Schöpfung auf dem Gebiete der höheren Analysis gehalten. Erst 13 Jahre nach seines Bruders Tode (der 1705 erfolgte), gab Jo hann B. den Irrthum selbst zu und lieferte dabei eine richtige Auflösung, die jedoch im Grunde mit der seines Bruders ganz einerlei ist *). Um im Sinne unseres Buches, die besonders technisch wich tigen Arbeiten der Brüder Bernoulli, so weit als möglich, zu besprechen, kehren wir zuerst zum Jahre 1691 zurück, wo Jacob seine schönen Arbeiten über die logarith mische Spiralein den Leipziger ,Acten“ 2 ) veröffentlichte. Wurde diese Curve auch bereits von Descartes 3 ), Mer- senne 4 ), entfernter auch von W a 11 i s und B a r r o w betrachtet 5 ), so war es doch zuerst Jacob B., der zum Nachweise der Eigen schaften derselben die neuen analytischen Methoden in An wendung brachte °), die Längen der Bogen und die Flächenräume 1) ,Jacobi Bernoulli Opera 4 , T. II, p. 895. Ueber diese ganze Angelegenheit berichten namentlich folgende Quellen: ,Jacobi B. Opera 1 , von p. 814 ab, ferner ,Joh. B. Opera omnia 1 , T. II, p. 235 und Bossut a. a. 0., S. 164—181. 2) ,Acta Erud.‘ 1691, mensis junii, p. 282 und ,Jacobi B. Opera 1 , p. 442. 3) Montucla a. a. 0., T. II, p. 45. 4) Ebendaselbst, S. 45. 5) Klügel’s ,mathera. Wörterbuchs Artikel „Spirale“, S. 439. 6) Der Verfasser bringt hier zunächst eine der technisch wichtigsten Eigen schaften der log. Spirale, nämlich die in Erinnerung, _daß in jedem Punkte E (Figur 30) die Tangenten ET mit dem Leitstrahle AE (radius vector) einen constanten Winkel \p bildet. Um dies nachzuweisen hat man zuerst, mit Bezug auf die Bezeichnungen der Figur: . . ^ _ EF _ zdtp jj> erner ; st bekanntlich: w J • qF dz g = af, also dz — d<faF Lgnt. a = zdq Lgnt. a und daher (2) Z 1 —, demnach zufolge (1): y ' dz Lgnt. a ^ ^ntTa- Verlangt man beispielsweise, daß rp constant = 60" sein soll, so wird tg. 60° = 1,732 und Lgnt. a = = 0,577, woraus folgt a = 1,78, deshalb aber schließlich Z = 1,78^, wonach die Curve leicht gezeichnet werden kann. Auf dem Satze von dem constanten Winkel, welchen die Tangenten der