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138 §. Iß. Erster Theil. Viertes Capitel. Addirt man jetzt zu beiden Seiten der aus (2) sicli ergebenden Gleichung a 2 cIx 2 = s 2 d iß den Werth s 2 dx 2 , so erhält man dx 2 (a 2 + s 2 ) = s 2 (dx 2 + dy 2 ) = s 2 ds 2 und hieraus wieder , sds dx = l/a 2 -f- s 2 Das bestimmte Integral dieses Werthes ist aber x = — a -f- l/a 2 s' 2 , daher auch s = f/2 ax + £ 2 - Verbindet man letzteren Werth mit (2) so ergiebt sich adx I. dy = =■ 1/2 ax + x 2 Dieses ist aber dieselbe Differenzialfunction, welche jeder der bei den Bernoullis an den vorher angegebenen Stellen der betref fenden Werke entwickelt hat'). Jacob B. zeigte später auch, daß für s — qy die Kettenlinie eine gemeine Parabel bildet, indem dann aus (2) folgt: qydy — adx, d. i. 2 2 a ß — — x. j q 1) Die Integration der Gleichung I läßt sich leicht ausführen, wenn man X -|- 1/2 a x 4- x- = z setzt, woraus dy = - folgt und daher schließ- ' . Oh "y* Z lieh als bestimmtes Integral erhalten wird: II. y = a Lgnt. f —31 J Um die Kettenlinie hiernach zu zeichnen, muß man (l (d. h. den Krümmungs halbmesser der Curve im Scheitel 13) kennen. Ist aber dieser Werth unbekannt, so läßt er sich durch Annäherung wie folgt berechnen, sobald zwei zusammenge hörige Coordinaten 13 E = Ttl und .4 13 - - il gegeben sind. Zunächst ist wegen II: . . .. . /a + m 4- Viani- s r m 2 \ («) n — a Lgnt. ( A J Ferner werde gesetzt: ((1) a + ”* + V* am + = w , so daß aus («) wird (y) n = a Lgnt. w. Reducirt man daher aus (£) a = sofort endlich aus (y): (w — 1 ) fl — Lgnt. w und schließlich: (w — i y (d) JL = Lgnt. w. v } 2 m (w — l) 2 Ist beispielsweise % — 8 m , vi = also = 0,8, so erhält man zu erst für w = 3 und dann io — 3,1 aus (d) Werthe, welche erkennen lassen, daß die erstere Satzung zu groß, die letztere zu klein ist und daher aus der Proportion der Differenzen für iv = 3,083, richtiger folgt: a =; 7,105.
