122 §. 15. Erster Tkeil. Viertes Capitel. Ferner bebt er hervor, wie man durch den Gebrauch seiner Bezeichnungsweise die Eigenschaften der Curven auf’s vollständigste in Gleichungen ausdrücken, beispielsweise durch y = die Cykloide charakterisiren könne *), wenn x und y die recht winkligen Coordinaten dieser Cur- ve sind. In demselben Aufsatze er zählt Leibniz auch, wie ein Be weis des Satzes von der Größe der Oberfläche einer Kugel ihn auf das (hier bereits oben er wähnte) charakteristische Dreieck BEC (Figur 27) geleitet habe u. s. w. 2 ). Um von den höchst vielsei tigen Anwendungen, die Leibniz von der Infinitesimalrechnung machte, wenigstens ein einziges für die technische Mechanik dx 27. BE-.EC, FD x' Tangentenproblem aufmerksam zu machen (d. b. auf das Verfahren aus gegebenen Eigenschaften der Tangente an eine Curve oder der Normalen die Gleichung der Curven zu finden), was sich nach der Erfindung der Infinitesimal rechnung so gestaltet wie aus nachstehendem Beispiel erhellt. Mit Bezug aut Figur 27 erhält man für die Subtangente FD, weil sich verhält: FD. DB = Soll man nun die Curve finden deren Subtangente = dx , , ist, so erhält man , d. i. (a +- y) dy = xdx und hier % + y dx a + y aus durch Integration: x 2 = 2 ay -f- y 2 . Die fragliche Curve ist sonach eine gleichseitige Hyperbel. 1) Wählt man den Seheitel der gemeinen Cykloide zum Ursprünge der rechtwinkligen Coordinaten, nimmt die Abscissen (x) vertikal und die Ordinateu (y) horizontal, so hat man bekanntlich, wenn der Halbmesser des Ilollkreises = 1 gesetzt wird: y = arc (sinvers. = x) -f-1/2 x — x 2 . Ha ferner dx darc (sinvers. = x) = . . um * v }/ 2x — x - arc (sin vers.) = Jrp ■—-'=5 ' st i so hat man auc ' 1 y 2 X — X ~ II = /' . + VYx — X 2 , wie oben. 1/ 2 X X 1 2) Bezeichnet man das Bogenelement BC in Figur 27 mit äs, so erhalt man aus dem Dreieck B CE (auch Leibniz-Dreieck genannt nach Gerhardt ,Die Entdeckung der höheren Analysis 1 , S. 151) : ds = ]/ dx 2 +dy 2 .