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9 Die Biegungslehre liefert für die Durchbiegung y des prismatischen Stabes Fig. 10 ohne Rücksicht auf Eigengewicht die Gleichung y 48 E0 ^ ^ worin E den als konstant vorausgesetzten Elastizitätsmodul bedeutet. Hieraus 'lässt sich dann der letztere, sofern y ge messen worden ist, berechnen. So ergiebt sich * = ££ und im vorliegenden Falle mit der Genauigkeit, mit welcher diese Beziehung für Gusseisen gilt, E ■■ P ■ 100 3 qqoo ooo p 8748 y • 100 und P = 300 kg, 48 - Via - 3 • B 3 - Für das Belastungsgebiet P = entsprechend den Spannungsgrenzen 100-25 , 300-25 i .. . -<. = 62 kg und i/^Tga = 185 k S’ e-3-9 2 ergiebt sich mit y = 0,0252 cm _ 1000 000 (300 — 100) E = 907 000 kg. 8748 ■ 0,0252 Diese Rechnung, auch für die übrigen Belastungen durch geführt, liefert für die Belastungsgrenzen entsprechend den Spannungsgrenzen bei den gesammten Durchbiegungen den Elastizitätsmodul also entschieden abnehmend mit zunehmender Belastung. 100/300 300/600 600/900 900/1200 62/185 185/370 370/556 556/741 0,0252 0,0420 0,0438 0,0465 907 000 816 000 783 000 737 000 1200/1500 kg 741/926 auf 1 qcm 0,0470 cm 729 000 kg 9 Diese Gleichung wird vielfach zur Bestimmung des Elastizi tätsmoduls verwendet, gleichgiltig, wie grofs die Höhe des Stabes im Verhältnis zur Entfernung der Auflager ist. Ist sie verhältnismäfsig bedeutend, so verliert die Gleichung 4 und damit auch Gleichung 5 an Genauigkeit, da die Durchbiegung eines Stabes, streng genommen, nicht blos von dem biegenden Moment, sondern auch von den Schubkräften abhängt, worauf schon Poncelet aufmerksam ge macht hat. Die von dem biegenden Moment M — Durchbiegung in der Mitte beträgt P-\ 4 (Fig. 10) herrührende V i : P- P 48 E 9 Die von der Schubkraft — bewirkte Durchbiegung der Achse ist worin bedeutet G den als konstant betrachteten Schubelastizitätsmodul, und für einen um % von der Mitte C des Stabes abstehen den Punkt der ursprünglich geraden Achse y die Schiebung, d. h. die Strecke, um welche sich zwei ur sprünglich um 1 von einander abstehende parallele Flächen- elemente unter Einwirkung der Schubkraft gegen einander verschieben, r — y G die Schubspannung. x „», Nach der Lehre von der Schubelastizität ist die Schubspannung in der Nullachse (vergl. nebenstehende Figur) n d F, d F = z dy insbesondere für einen rechteckigen Stab & — 1 /i2 b h z , Jyd F = l js b lfi 0 wegen 2/8 = d x = 3 /j G bh Mit wird G = 3 / 8 P 2/8 = _P l E bli '■ folglich die gesammte Durchbiegung P-P 2/ = 2/i' 2/ : -2/2 = JL _L E bh 48 • '/is b h 3 E l E bh + 1 (6). Das Verhältnis des in der Regel unbeachtet bleibenden Wertes 2/2 zu dem allein berücksichtigten yi beträgt 2/2 h\ 2 2/i ‘(t)' ■(t) (7). Bei den Versuchen, über welche oben berichtet wurde, ist die gröfste Höhe A = 90mm bei /— 1000mm; infolgedessen 2/2 i 2/1= 4 : 1 = 0,0324 : 1 . Da nach Gleichung (6) E- bhy (4)’ + 1 (8), so ist in diesem Falle bei Benutzung der Gleichung (5) zur Be stimmung des Elastizitätsmoduls ein Fehler von rund 3 pCt. gemacht worden. Bei den bekannten Bauschinger’schen Versuchen mit Ternitzer Bessemerstahl (Mitteilungen aus dem mechanisch - technischen Labo ratorium der k. polytechnischen Schule zu München, 3. Heft 1874 S. 8 u. f.) beträgt h = 140 mm l — 1000 mm 2/2 :2/1 ,100/ : 0,0784 : 1 . Da auch hier der aus den Biegungsversuchen festgestellte Elastizitätsmodul von Bausehinger auf grund der Gleichung (5) be rechnet worden ist, so sind die betreffenden Elastizitätsmodule um nahezu 8 pCt. zu klein bestimmt worden. Thatsächlich ermittelte Bausehinger den Elastizitätsmodul aus den Zugversuchen zu (2,27 + 2,24 + 2,21 + 2,13 + 2,24 + 2,27 + 2,30 + 2,12 4- 2,20 4- 2,u4- 2,25 4- 2,19 + 2,14 4- 2,18 4- 2,22 + 2,34 4- 2,30 4- 2,42 4- 2,14 + 2,16 + 2,22 4- 2,15 4- 2,25 + 2,10) = 2215000, aus den Biegungsversuchen nach Gl. (5) zu (2,oo + 2,05 + 2,oo + 2,09 4- 2,03 + 2,13 + 2,oe 4- 2,26 4- 2,12 „ , 1000000 + 2,32 4- 2,14 + 2,06) 12 - 2,06 4- 2,26 = 2 105000; 2