156 Verhältnis der Umdrehungen zu den Zähnezahlen. Angenommen, der Trieb a mache N a Umdrehungen in der Minute und das Rad b N h . Die Zähnezalil des Triebes sei a 1 , die des Rades b 1 , die entsprechenden Durchmesser a und b und die zugehörige „Teilung“ t. Hierbei verstehen wir unter „Teilung“ die Länge des Bogens von Zahn plus Lücke, gemessen auf einem Kreise, der ungefähr durch die Mitte des Zahnes geht und den man den „Teilkreis“ nennt. Da Trieb und Rad ineinander eingreifen, so werden im Eingriff während einer gegebenen Zeit, z. B. während 1 Minute, gleichviel Zähne von beiden Zahnrädern die Eingriffsstelle passiert haben. Macht der Trieb N a Umdrehungen, so müssen im Eingriff N a .a 1 Zähne vorbeigekommen sein, da pro Umdrehung a 1 Zähne durch gehen. Desgleichen werden bei N b Umdrehungen des Rades N . b 1 Zähne den Ein griff passiert haben. Da nun auf beiden Rädern in der gleichen Zeit gleichviel Zähne entwickelt wurden, so haben wir die Gleichung: N a . a 1 = N 0 . b\ woraus: K - J>1 f81 (8) d. h. die Umdrehungen von Rad und Trieb stehen im umgekehrten Verhältnis zu ihrer Zähnezahl. Bei einer Teilung von t wird a x t den Umfang des Teilkreises ausmachen. Ist a sein Durchmesser, den man gewöhnlich von Zahnspitze bis zur diametral gegenüber liegenden Zahnlücke abmisst, so ist sein Umfang ausgedrückt durch den Durchmesser gleich na. Setzen wir beide Umfangswerte einander gleich, so haben wir: na — a x t. Für das Rad folgt desgleichen: nb = b x t. Dividieren wir beide Ausdrücke durcheinander, so erhalten wir: a 1 a b 1 b ’ d. h. die Zähnezahlen von Trieb und Rad sind den Durchmessern proportional. Aus der Kombination beider Formeln folgt: N a b x b (9) (10) N h a 1 a d. h. die Umdrehungen von Trieb und Rad verhalten sich umgekehrt wie die ent sprechenden Durchmesser. Entwickelt ein Trieb oder ein Rad eine gegebene Anzahl Zähne x\ so findet man die dazu nötigen Umdrehungen N‘ y , indem man die entwickelten Zähne durch die vorhandenen Zähne y‘ des Triebes oder Rades dividiert. Also: = (11) Unter 9 Zähnen werden selten Räder ausgeführt. Ferner ist es selbst bei kleinen Kräfteübertragungen nicht zu empfehlen, das Verhältnis der Zäbnezahlen von Trieb und Rad kleiner als 1 /t; zu wählen. Dieses Verhältnis nennt man in der Praxis das „Uebersetzungsverhältnis“. Nur bei Zählwerken und Uhren wird oft dieses Ueber- setzungsverhältnis bis auf ^10 herabgemindert. Soll mithin eine Welle z.,B. 12mal